[논문 리뷰] Lyapunov `Non-typical' Points of Matrix Cocycles and Topological Entropy

Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 17.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 위상적 혼합성과 가속도가 있는 하이퍼볼릭 시스템 위에서 허더 연속 행렬 코시클에 대해, 모든 에르고딕 측도가 동일한 최대 리아푸노프 지수를 가지거나, 리아푸노프-비정상(비표준) 점들의 집합이 전체 위상 엔트로피, 전체 패킹 위상 엔트로피를 가지며, 보웬 하우스도르프 엔트로피가 비-리아푸노프 최소화 에르고딕 측도들의 메트릭 엔트로피의 상한보다 아래로 bound되는 것을 증명한다.

ABSTRACT

It follows from Oseledec Multiplicative Ergodic Theorem (or Kingman's Sub-additional Ergodic Theorem) that the set of `non-typical' points for which the Oseledec averages of a given continuous cocycle diverge has zero measure with respect to any invariant probability measure. In strong contrast, for any H$\ddot{o}$der continuous cocycles over hyperbolic systems, in this article we show that either all ergodic measures have same Maximal Lyapunov exponents or the set of Lyapunov `non-typical' points have full topological entropy and packing topological entropy. Moreover, we give an estimate of Bowen Hausdorff entropy from below.

연구 동기 및 목표

• 하이퍼볼릭 시스템 위의 행렬 코시클의 맥락에서, 최대 리아푸노프 지수가 존재하지 않는 점들—즉, 리아푸노프-비정상 점들의 역학적 복잡성에 대해 연구한다.
• 비표준 점들이 어떤 불변 확률 측도에 대해서도 영도수를 가지지만, 여전히 높은 위상 엔트로피를 보이는지 여부를 판단한다.
• 모든 에르고딕 측도가 동일한 최대 리아푸노프 지수를 가지거나, 비정상 집합이 여러 엔트로피 척도에서 전체 엔트로피를 가지는 이분법을 설정한다.
• 비-리아푸노프 최소화 에르고딕 측도들의 메트릭 엔트로피를 사용하여 비정상 집합의 보웬 하우스도르프 엔트로피에 하한 추정을 제공한다.
• 차원 m ≥ 2 인 비등각 설정에서의 비르호프 평균과 에르고딕 최적화 결과를 확장한다.

제안 방법

• 불변 측도에 대해 리아푸노프 지수의 거의 확실한 존재성을 확보하기 위해 오셀레체프의 곱셈 에르고딕 정리와 킹먼의 가역적 에르고딕 정리를 활용한다.
• 위상적 혼합성 하이퍼볼릭 시스템에서의 사양성 성질과 지수적 색인을 적용하여, 통제 가능한 성장률을 갖는 밀도 있는 궤도 집합을 구성한다.
• 불변 측도의 엔트로피 구조와 주기 궤도에 지지된 불변 측도의 사용을 통해 엔트로피-밀도 추론을 적용한다.
• 기호 동역학과 시린더 집합을 사용하여 비정상 점들의 컴팩트 집합 F를 구성하고, 보웬 거리 하에서 공집합의 측도에 대한 균일한 하한을 확보한다.
• 증가하는 반경의 공들의 측도의 limsup와 liminf를 이용하여 위상 엔트로피를 추정하며, 시간의 수열에 걸쳐 일관된 구성의 성질을 활용한다.
• 엔트로피-이중성 원리를 적용하여 비정상 집합의 위상 엔트로피를 비-리아푸노프 최소화 에르고딕 측도들의 메트릭 엔트로피의 상한과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하이퍼볼릭 시스템에서 리아푸노프-비정상 점들의 집합이 전체 위상 엔트로피를 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비-최소화 에르고딕 측도들의 메트릭 엔트로피에 따라, 리아푸노프-비정상 집합의 보웬 하우스도르프 엔트로피에 하한을 설정할 수 있는가?
• RQ3 최대 리아푸노프 지수의 행동에 대해 이분법이 존재하는가? 즉, 모든 지수가 동일하거나, 비정상 집합이 전체 엔트로피를 가지는가?
• RQ4 허더 연속 행렬 코시클의 구조는 비등각 동역계에서 비표준 점들의 엔트로피에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 비정상 집합의 엔트로피는 시스템의 불변 측도의 메트릭 엔트로피 구조를 어느 정도 반영하는가?

주요 결과

• 위상적 혼합성과 국소적으로 최대인 하이퍼볼릭 집합 위에서 허더 연속 행렬 코시클에 대해, 모든 에르고딕 측도가 동일한 최대 리아푸노프 지수를 가지거나, 리아푸노프-비정상 점들의 집합이 전체 위상 엔트로피를 가진다.
• 리아푸노프-비정상 집합은 전체 패킹 위상 엔트로피를 가지며, 이는 모든 척도에서 위상적으로 복잡함을 의미한다.
• 비정상 집합의 보웬 하우스도르프 엔트로피는 비-리아푸노프 최소화 에르고딕 측도들의 모든 메트릭 엔트로피의 상한에 의해 아래로 bound된다.
• 만약 시스템의 최대 엔트로피 측도가 리아푸노프 최소화가 아니라면, 비정상 집합의 보웬 하우스도르프 엔트로피는 시스템의 전체 위상 엔트로피와 같다.
• 이 결과는 지수적 색인을 만족하는 가정 하에 성립하며, 이는 위상적 혼합성 $C^1$ 미르피즘의 하이퍼볼릭 집합에서 성립한다.
• 증명은 비정상 점들의 컴팩트 집합을 기호 동역학과 불변 측도의 엔트로피-밀도 성질을 사용하여 균일한 엔트로피 추정을 갖는 방식으로 구성된다.