[논문 리뷰] Lyapunov-Razumikhin techniques for state-dependent delay differential equations

A. R. Humphries, F. M. G. Magpantay|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 01.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 상태에 의존하는 지연 미분 방정식(DDE)에 대해 새로운 라파노프-라주미힌 기법을 개발하며, DDE를 지연된 항이 소스 항으로 작용하는 보조 비자율 ODE로 변환한다. 주요 기여는 보조 함수를 구성할 필요 없이 모순과 아르체라-아스콜리 정리를 이용해 증명된 새로운 점근적 안정성 정리이며, 비선형 상태에 의존하는 DDE 모델에 적용하여 점근적 안정성과 안정성 영역의 하한을 확립한다.

ABSTRACT

We present Lyapunov stability and asymptotic stability theorems for steady state solutions of general state-dependent delay differential equations (DDEs) using Lyapunov-Razumikhin methods. Our results apply to DDEs with multiple discrete state-dependent delays, which may be nonautonomous for the Lyapunov stability result, but autonomous (or periodically forced) for the asymptotic stability result. Our main technique is to replace the DDE by a nonautonomous ordinary differential equation (ODE) where the delayed terms become source terms in the ODE. The asymptotic stability result and its proof are entirely new, and based on a contradiction argument together with the Arzela-Ascoli theorem. This approach alleviates the need to construct auxiliary functions to ensure the asymptotic contraction, which is a feature of all other Lyapunov-Razumikhin asymptotic stability results of which we are aware. We apply our results to a state-dependent model equation which includes Hayes equation as a special case, to directly establish asymptotic stability in parts of the stability domain along with lower bounds on the size of the basin of attraction.

연구 동기 및 목표

• 상태에 의존하는 지연 미분 방정식(DDE)에 대한 직접적 안정성 분석 도구의 부족을 해결한다. DDE는 제어 이론 및 인구 역학 등 응용 분야에서 흔히 나타난다.
• 기존의 라파노프-라주미힌 방법이 보조 함수를 구성해야 하거나 비자율 또는 상태에 의존하는 경우에 실패하는 한계를 극복한다.
• 다중 이산 상태에 의존하는 지연을 가진 자율 또는 주기적으로 강제되는 DDE에 대해 새로운 점근적 안정성 정리를 개발한다.
• 비선형 상태에 의존하는 DDE 모델의 영해에 대해 안정성 영역의 명시적 하한을 제공한다.
• 선형화 기반 접근법이 아직 엄밀하게 확립되어 있지 않은 문제, 특히 비자율 케이스에 대해 이 방법의 적용 가능성을 보여준다.

제안 방법

• 지연된 항을 소스 항으로 간주함으로써 원래의 상태에 의존하는 DDE를 보조 비자율 ODE로 변환한다.
• 보조 함수가 필요 없이 모순과 아르체라-아스콜리 정리를 조합하여 점근적 안정성을 증명한다.
• 라파노프-라주미힌 프레임워크를 사용하여, 라파노프 함수의 도함수가 안정 상태 주변의 구의 경계에 가까워질 때에만 제약을 둔다.
• 지속적인 리프시츠 조건과 안정 상태 근처의 유한한 지연 조건 하에서 라파노프 안정성에 대한 충분조건을 확립한다.
• 선형 상태에 의존하는 지연을 가진 모델 DDE에 프레임워크를 적용한다: ẋ(t) = μx(t) + σx(t − a − c x(t)).
• 조건 P(δ₁, c, k) = δ₁을 이용하여 점근적 안정성에 대한 명시적 매개변수 영역을 유도하고, 식 (6.1)을 통해 δ₂를 계산하여 안정성 영역의 하한을 구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라파노프-라주미힌 기법을 보조 함수를 구성하지 않고 상태에 의존하는 DDE에까지 확장할 수 있는가?
• RQ2 보조 함수가 필요 없이 모순 기반 방법을 이용해 자율 상태에 의존하는 DDE의 점근적 안정성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 상태에 의존하는 DDE ẋ(t) = μx(t) + σx(t − a − c x(t))의 영해가 점근적으로 안정해지는 명시적 매개변수 영역은 무엇인가?
• RQ4 이러한 비선형 DDE에 대해 안정성 영역의 하한을 엄밀하게 유도할 수 있는가?
• RQ5 라파노프-라주미힌 방법으로 도출된 안정성 영역과 선형화 기법으로 도출된 영역는 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 자율 상태에 의존하는 다중 이산 지연을 가진 DDE에 대해, 모순과 아르체라-아스콜리 정리를 이용해 증명된 새로운 점근적 안정성 정리가 확립되었다.
• 기존의 라파노프-라주미힌 접근법에서의 주요 제약인 보조 함수의 구성이 필요 없이 이 방법은 작동한다.
• 모델 DDE ẋ(t) = μx(t) + σx(t − a − c x(t))에 대해, (μ, σ) ∈ {P(1, 0, k) < 1} 인 경우 영해가 점근적으로 안정하다.
• 식 (6.1)을 통해 계산된 δ₂를 이용해 안정성 영역의 하한이 도출되었으며, 이는 안정성 영역의 크기의 정량적 추정을 제공한다.
• 유도된 안정성 영역은 k가 증가함에 따라 커지지만, k → ∞ 일 때 전체 알려진 안정성 영역 Σ⋆로 수렴하지 않아 이 방법의 한계를 보여준다.
• 크로스 영역 Σc (μ > 0) 에서는 해가 원점으로 수렴하지 않는 반례를 구성하여 안정성 영역 반경의 상한 δ∗를 도출하였으며, 이는 하한 δ₂와 비교되었다.