[논문 리뷰] Lyapunov spectrum for exceptional rational maps

Katrin Gelfert, Feliks Przytycki외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 12.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비어 있는 불변 측도와 σ-유한 콫라프트 측도로부터 유도된 숨겨진 변분 압력에 기반하여 리만 구면 위의 특수한 유리 함수에 대한 리아풀로프 지수의 차원 스펙트럼을 특성화한다. Hausdorff 차원이 이 압력의 레전드르-펜첼 변환에 의해 결정됨을 입증하며, 이는 이전 결과를 모든 불변 측도에 대한 최대 리아풀로프 지수가 비어 있는 측도에 대한 것보다 큰 특수한 경우로 확장한다.

ABSTRACT

We study the dimension spectrum for Lyapunov exponents for rational maps acting on the Riemann sphere and characterize it by means of the Legendre-Fenchel transform of the hidden variational pressure. This pressure is defined by means of the variational principle with respect to non-atomic invariant probability measures and is associated to certain $σ$-finite conformal measures. This allows to extend previous results to exceptional rational maps.

연구 동기 및 목표

• 특수한 유리 함수에 대한 리아풀로프 지수 차원 스펙트럼의 특성화를 이전 이론에서 제외된 경우로 확장하기 위해.
• 비어 있는 불변 측도와 σ-유한 콕라프트 측도를 이용해 새로운 숨겨진 변분 압력을 정의하고 분석하기 위해.
• 리아풀로프 지수의 수준 집합의 하우스도르프 차원과 이 숨겨진 압력의 레전드르-펜첼 변환 사이의 정확한 관계를 확립하기 위해.
• 모든 불변 측도에 대한 최대 리아풀로프 지수 값이 비어 있는 측도에 대한 것보다 큰 특수한 경우를 해결하기 위해.

제안 방법

• 비어 있는 불변 측도 μ에 대해 sup{ h_μ(f) + ∫ φ_t dμ }로 정의된 숨겨진 변분 압력 $ \widetilde{P}(\varphi_t) $ 를 도입하며, 여기서 $ \varphi_t = -t \log |f'| $ 이다.
• 숨겨진 압력의 레전드르-펜첼 변환을 사용하여 $ \alpha > 0 $ 에 대해 $ \widetilde{F}(\alpha) = \frac{1}{\alpha} \inf_{t \in \mathbb{R}} (\widetilde{P}(\varphi_t) + t\alpha) $ 를 정의하고, $ \alpha = 0 $ 에서 연속적으로 연장한다.
• 숨겨진 압력과 고전적 압력 $ P(\varphi_t) $ 간의 연결 고리를 확립하여, $ P(\varphi_t) = \max\{ \widetilde{P}(\varphi_t), -t \chi_{\sup} \} $ 를 증명하며, 여기서 $ \chi_{\sup} = \sup_{\mu \in \mathcal{M}} \chi(\mu) $ 이다.
• 역행하는 콕라프트 분지와 왜곡 추정을 적용하여, 재귀 집합에서 예외 집합을 제외한 리아풀로프 지수의 본질적 상한에 근접한 주기점을 구성한다.
• 텔레스코프 추론과 플리스 유형의 초구형 시간을 사용하여 도함수의 성장률을 제어하고, 원하는 리아풀로프 지수를 가진 주기점의 존재를 보장한다.
• 수준 집합 $ \mathcal{L}(\alpha, \beta) $ 의 차원이 $ \widetilde{F}(q) $ 의 최소값과 최대값에 의해 유계화됨을 증명하며, 정규 경우 $ \alpha = \beta $ 에서는 등호가 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 불변 측도에 대한 최대 리아풀로프 지수 값이 비어 있는 측도에 대한 것보다 큰 특수한 유리 함수의 경우, 리아풀로프 지수의 차원 스펙트럼은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 비어 있는 불변 측도와 σ-유한 콕라프트 측도를 통해 정의된 숨겨진 변분 압력의 레전드르-펜첼 변환은 특수한 경우의 리아풀로프 수준 집합의 차원 스펙트럼을 특성화할 수 있는가?
• RQ3 예외 집합 $ \Sigma(f) $ 는 재귀 집합 내 점들의 가능한 리아풀로프 지수를 제약하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 어떻게 하면 $ J \setminus \Sigma $ 에서 리아풀로프 지수의 본질적 상한에 근접한 주기점을 구성할 수 있는가?
• RQ5 고전적 압력이 실해석적이지 않은 특수한 성질을 가진 함수일 경우, 숨겨진 압력 $ \widetilde{P}(\varphi_t) $ 는 리아풀로프 스펙트럼의 전체 복잡성을 어느 정도 반영하는가?

주요 결과

• 모든 $ \alpha, \beta \in [0, \widetilde{\alpha}^+] $ 에 대해 $ \alpha \leq \beta $ 를 만족할 때, 수준 집합 $ \mathcal{L}(\alpha, \beta) $ 의 하우스도르프 차원은 $ \min\{ \widetilde{F}(\alpha), \widetilde{F}(\beta) \} \leq \dim_{\rm H} \mathcal{L}(\alpha, \beta) \leq \max_{q \in [\alpha, \beta]} \widetilde{F}(q) $ 를 만족한다.
• 모든 $ \alpha \in \alpha^-, \widetilde{\alpha}^+ \setminus \{0\} $ 에 대해, 정규 수준 집합 $ \mathcal{L}(\alpha) $ 의 차원은 정확히 $ \dim_{\rm H} \mathcal{L}(\alpha) = \widetilde{F}(\alpha) $ 를 만족한다.
• α = 0 인 경우, 영 리아풀로프 지수를 가진 점들의 집합의 차원은 $ \dim_{\rm H} \mathcal{L}(0) \geq \widetilde{F}(0) $ 를 만족하며, 등호는 추측되지만 증명되지 않았다.
• 모든 점에서 $ \overline{\chi}(x) < \alpha^- $ 를 만족하는 점들의 집합의 하우스도르프 차원은 0이다. 이는 이러한 점들이 재귀 집합 내에서 매우 희귀하다는 것을 시사한다.
• $ \chi(x) < \alpha^- $ 또는 $ \overline{\chi}(x) > \widetilde{\alpha}^+ $ 를 만족하는 점들의 집합은 $ \Sigma $ 외부에서는 공집합이다. 이는 $ \alpha^- $ 와 $ \widetilde{\alpha}^+ $ 가 $ J \setminus \Sigma $ 에서 리아풀로프 지수의 본질적 하한과 상한임을 보여준다.
• 숨겨진 압력 $ \widetilde{P}(\varphi_t) $ 는 $ (-\infty, 0) $ 에서 실해석적이며, 고전적 압력이 실해석적이지 않은 특수한 성질을 가진 함수일 경우에도 레전드르-펜첼 변환을 통해 차원 스펙트럼을 지배한다.