[논문 리뷰] Lyapunov Theory for Discrete Time Systems

Nicoletta Bof, Ruggero Carli외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 14.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 2인용 수 71

한 줄 요약

이산 시간 시스템에 대한 Lyapunov 이론 결과를 모은 기술 보고서로, 안정성, LaSalle의 불변성, 선형화, 증명이 포함된 비자율 확장을 다룬다.

ABSTRACT

In this work, we present the equivalent of many theorems available for continuous time systems. In particular, the theory is applied to Averaging Theory and Separation of time scales. In particular the proofs developed for Averaging Theory and Separation of time scales departs from those typically used in continuous time systems that are based on twice differentiable change of variables and the multiple use of the Implicit Function Theorem and Mean Value Theorem. More specifically, by constructing a suitable Lyapunov function only Lipschitz conditions are necessary. Finally, it is shown that under mild condition on the so-called "interconnection conditions" the proposed tools can guarantee semi-global exponential stability rather than the more stringent local exponential stability typically found in the literature

연구 동기 및 목표

• 이산 시간 시스템에 관한 Lyapunov 관련 정리를 자기완결적으로 모음으로 제시한다.
• 연속 시간 이론의 Lyapunov 방법을 이산 시간 시스템으로 확장하고 그 증명을 제공한다.
• Lyapunov 및 불변성 원리를 통해 특정 이산 시간 클래스에서의 수렴 결과를 제공한다.
• 이산화된 Lyapunov 함수와 선형화 결과를 통해 선형 및 비선형 해석을 연결한다.

제안 방법

• 자율 이산 시간 시스템과 비자율 이산 시간 시스템에 대한 안정성 개념을 도입한다.
• V(f(x))−V(x) ≤ 0 또는 < 0를 이용해 안정성과 비안정 수렴을 보장하는 Lyapunov 조건을 도출한다.
• radially unbounded 또는 적절한 증가를 갖는 Lyapunov 함수를 통해 전역 결과를 확립한다.
• 이산 시간 동역학에 LaSalle의 불변성 원리를 적용하여 점근적 거동을 추론한다.
• Lyapunov 방정식을 통해 선형 시스템 결과를 개발하고 Schur 안정성과의 동등성을 증명한다.
• 평형점 부근에서 비선형 시스템에 대한 선형화 및 Lyapunov 간접법을 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 시간 자율 시스템에 대해 어떤 Lyapunov 조건이 안정성과 점근적 안정성을 보장하는가?
• RQ2 LaSalle의 불변성 원리를 이산 시간 역학에 어떻게 적용하여 극한 집합을 기술할 수 있는가?
• RQ3 원점에서의 선형화와 Lyapunov 함수로 얻는 비선형 안정성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 비자율(시간에 의존하는) 이산 시간 시스템은 Lyapunov 방법을 통해 어떻게 안정성을 유지하는가?
• RQ5 선형 및 비선형 이산화 시스템에 대해 Lyapunov 함수의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• V(f(x))−V(x)≤0를 만족하는 Lyapunov 함수는 안정성을 보장하며, 엄격한 음수성은 점근적 안정성을 산출한다.
• La Salle 정리는 0-변동 집합 S 내의 가장 큰 불변 집합으로의 수렴을 제공한다.
• V가 radially unbounded이고 V(f(x))−V(x)≤0일 때 전역 점근적 안정성이 얻어진다.
• 선형 시스템의 경우 Schur 안정성(고유값이 단위 원 내부)에 해당하는 것이 임의의 Q>0에 대해 AᵀPA−P=−Q를 만족하는 양의 정부호 P의 존재와 동치이다.
• 비선형 시스템의 평형점 근처에 대한 Lyapunov 함수는 선형화가 점근적으로 안정적일 때 존재한다(Lyapunov의 간접법).
• 본 내용은 KL, K, 및 지수 수렴 특성화를 가진 비자율/이산 시간 설정으로 안정성 개념을 확장한다.