[논문 리뷰] Lyapunov-Type Inequalities for Discrete Riemann-Liouville Fractional Boundary Value Problems

Jagan Mohan Jonnalagadda|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 31.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 37인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 나블라 미분을 사용하여 두점 이산 리만-리오빌 분수형 경계값 문제에 대해 라플라스 유형 부등식을 수립한다. 잠재력 함수의 절댓값 합에 대한 하한을 유도하며, 비자명한 해가 존재할 수 있는 조건은 이 합이 감마 함수와 일반화된 상승 계승계수를 포함한 임계값을 초과해야 한다는 것을 증명한다. 주요 기여는 나블라 분수 차분을 위한 새로운 라플라스 부등식으로, 이는 해의 비존재 조건, 고유값의 경계, 그리고 이산 미타그레플레르 함수의 영이 없는 조건을 도출할 수 있게 한다.

ABSTRACT

In this article we establish a few Lyapunov-type inequalities for two-point discrete fractional boundary value problems involving Riemann-Liouville type backward differences. To illustrate the applicability of established results, we obtain criteria for the nonexistence of nontrivial solutions and estimate lower bounds for eigenvalues of the corresponding eigenvalue problems. We also apply these inequalities to deduce criteria for the nonexistence of real zeros of certain discrete Mittag-Leffler functions.

연구 동기 및 목표

• 나블라 리만-리오빌 분수 차분을 포함하는 이산 분수형 경계값 문제에 대해 새로운 라플라스 유형 부등식을 유도하는 것.
• 이산 분수형 경계값 문제에서 비자명한 해가 존재하지 않는 데 필요한 충분조건을 제공하는 것.
• 해당 고유값 문제의 고유값에 대한 하한을 추정하는 것.
• 일부 이산 미타그레플레르 함수의 실근이 존재하지 않는 조건을 유도하는 것.

제안 방법

• 나블라 분수 미분을 사용하여 오른쪽 초점형 이산 분수형 경계값 문제의 그린 함수를 유도한다.
• 그린 함수를 이용하여 정의역 전체에서 점별 경계와 최대값 추정을 한다.
• 그린 함수의 최댓값을 활용하여 감마 함수와 일반화된 상승 계승계수를 포함하는 라플라스 유형 부등식을 유도한다.
• 이 부등식을 사용하여 잠재력 함수에 대한 임계 조건을 만족할 경우 비자명한 해가 존재하지 않음을 증명한다.
• 이 부등식을 고유값 문제에 적용하여 $ \Gamma(\alpha) / (b-a-1)^{\overline{\alpha-1}} $ 비례하는 하한을 유도한다.
• 고유값 분석을 통해 이 부등식을 이산 미타그레플레르 함수의 실근이 존재하지 않는 조건과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나블라 리만-리오빌 분수 차분을 포함하는 이산 분수형 경계값 문제에서 비자명한 해가 존재하지 않도록 보장하기 위해 $ \sum_{s=a+2}^{b} |q(s)| $ 의 날카로운 하한은 무엇인가?
• RQ2 오른쪽 초점 경계 조건을 가진 이산 분수형 문제에 대해 라플라스 유형 부등식을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 해당 이산 분수형 고유값 문제의 고유값에 대해 어떤 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ4 이산 미타그레플레르 함수 $ E_{-\lambda,\alpha,0}(n,0) + \lambda E_{-\lambda,\alpha,\alpha-1}(n,0) $ 가 실근을 가지지 않는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 비자명한 해가 존재하는 이산 분수형 경계값 문제에 대해 라플라스 유형 부등식 $ \sum_{s=a+2}^{b} |q(s)| \geq \frac{\Gamma(\alpha)}{(b-a-1)^{\overline{\alpha-1}}} $ 이 성립한다.
• 만약 $ \sum_{s=a+2}^{b} |q(s)| < \frac{\Gamma(\alpha)}{(b-a-1)^{\overline{\alpha-1}}} $ 이면, 비자명한 해는 존재하지 않는다.
• 고유값 문제 $ \nabla^\alpha_0 u(t) + \lambda u(t) = 0 $ 에서 고유값은 $ |\lambda| \geq \frac{\Gamma(\alpha)}{(n-1)(n-1)^{\overline{\alpha-1}}} $ 를 만족한다.
• 이산 미타그레플레르 함수 $ E_{-\lambda,\alpha,0}(n,0) + \lambda E_{-\lambda,\alpha,\alpha-1}(n,0) $ 는 $ |\lambda| < \frac{\Gamma(\alpha)}{(n-1)(n-1)^{\overline{\alpha-1}}} $ 일 때 실근을 가지지 않는다.
• 정의역 전체에서 그린 함수 $ G_r(t,s) $ 의 최댓값은 $ \frac{(b-a-1)^{\overline{\alpha-1}}}{\Gamma(\alpha)} $ 이며, 이는 부등식 유도에 핵심적인 역할을 한다.
• 증명은 정의역 전체에서 그린 함수의 합을 바ound하고 일반화된 상승 계승계수 및 감마 함수의 성질을 활용한다.