[논문 리뷰] (M + 1)-step shift spaces that are not conjugate to M-step shift spaces

Daniel Gonçalves, Danilo Royer|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 28.

semigroups and automata theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 무한 알파벳 위에서 (M+1)-단계 이동 공간의 명시적 가족을 구성하여, 이들이 어떤 M-단계 이동 공간과도 동형이 아니라는 것을 보이며, Ott, Tomforde, Willis의 추측을 증명한다. 구성은 단어 집합 위의 보조 함수를 사용하여 금지 패턴을 정의하고, 주기적인 수열의 수렴에 기반한 위상적 모순 추론을 통해 이러한 (M+1)-단계 이동 공간이 길이 제약으로 인해 M-단계 이동 공간과 동형일 수 없음을 보인다.

ABSTRACT

Recently Ott, Tomforde and Willis proposed a new approach for one sided shift spaces over infinite alphabets. In this new approach the conjugacy classes of shifts of finite type, edge shifts, and M-step shifts are distinct and the authors conjecture that for each non-negative integer M there exist an (M+1)-step shift space that is not conjugate to any M-step shift. In this short paper we build a class of (M+1)-step shifts that are not conjugate to any M-step shift and hence show that their conjecture is correct.

연구 동기 및 목표

• Ott, Tomforde, Willis가 제기한 열린 문제를 해결한다: 어떤 M-단계 이동 공간과도 동형이 되지 않는 (M+1)-단계 이동 공간이 존재하는가?
• 무한 알파벳 설정에서 M-단계 이동 공간과 (M+1)-단계 이동 공간의 동형류가 서로 다름을 보인다.
• 모든 M ∈ ℕ ∪ {0}에 대해 어떤 M-단계 이동 공간과도 동형이 되지 않는 (M+1)-단계 이동 공간의 명시적 가족을 구성한다.
• 이동 공간 내 주기적인 수열의 수렴을 이용한 위상적 장벽 추론을 통해 동형이 되지 않음을 보인다.
• 고전적 기호 동역학 프레임워크를 무한 알파벳으로 확장하면서 유한 알파벳 경우에 사라지는 이동 유형 간의 차이를 유지한다.

제안 방법

• 유한한 금지 패턴을 기반으로 한 일반화된 실린더 집합과 위상으로 무한 알파벳 위의 이동 공간을 정의한다.
• f: ⋃_{k≥1} A^k → {0,1}이 금지된 단어를 인코딩하는 바에, 이동 공간을 Xf = X^inf_f ∪ X^fin_f로 표현한다.
• f(x) = 1 for |x| ≤ M 이고 f(x) = ∏_{i=1}^{M+1} ˜f(x_i, ..., x_{i+M}) for |x| ≥ M+1 인 보조 함수 ˜f: A^{M+2} → {0,1}을 통해 (M+1)-단계 이동 공간을 구성한다.
• ˜f에 두 가지 조건을 부과한다: (1) 주기적인 M-튜플을 전체 (M+1)-사이클로 연장할 수 있는 무한 집합의 원소 존재, (2) 임의의 (M+1)-튜플에 대해 유한한 수의 연장만 존재.
• Xf에서 M-단계 이동 공간 Yg로 수열을 이전하는 동형사상 φ: Xf → Yg를 사용하고, Xf 내 주기적인 수열이 유한 길이 원소로 수렴하는 것을 분석한다.
• φ의 상이 길이 2M+1인 원소를 가져야 한다는 점을 보여 위상적 모순을 유도한다. 이는 Xf 내에서 연장의 유한성 조건으로 인해 이러한 원소가 존재할 수 없기 때문이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 M ∈ ℕ ∪ {0}에 대해, 어떤 M-단계 이동 공간과도 동형이 되지 않는 무한 알파벳 위의 (M+1)-단계 이동 공간이 존재하는가?
• RQ2 무한 알파벳 기반 기호 동역학 프레임워크에서 M-단계 이동 공간과 (M+1)-단계 이동 공간의 동형류는 서로 다를까?
• RQ3 주기적인 수열의 수렴을 이용해 (M+1)-단계 이동 공간과 M-단계 이동 공간 간의 동형을 방지할 수 있는 위상적 장벽을 구성할 수 있는가?
• RQ4 금지 패tern이 주기성과 유한한 연장 성질을 강제하는 무한 알파벳 위의 이동 공간을 정의할 수 있는가? 이는 이동 유형을 구분한다.
• RQ5 무한 알파벳 위의 이동 공간에서 (M+1)-단계 이동 공간이 M-단계 이동 공간과 동형이 되지 않는 구조적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 M ≥ 1에 대해, 어떤 M-단계 이동 공간과도 동형이 되지 않는 무한 알파벳 위의 (M+1)-단계 이동 공간의 가족이 존재한다.
• 비교적 간단한 보조 함수 ˜f: A^{M+2} → {0,1}을 사용하여 구성되며, ˜f(x1,…,xM+2) = 1 if x1 = xM+2, and 0 otherwise 로 정의되며, 이는 비동형성에 필요한 조건을 만족한다.
• M = 0일 경우, 유한한 수의 기호만 무한히 많은 후속 기호를 가지며, 이 공간은 어떤 0-단계 이동 공간(즉, 전체 이동 공간)과도 동형이 아니다.
• 증명에서 발생하는 모순은 동형사상의 상이 길이 2M+1인 원소를 가져야 한다는 점에서 비롯되며, 이는 (M+1)-단계 이동 공간 Xf가 길이 M+2인 원소를 포함하지 않기 때문에 불가능하다.
• 증명은 Xf 내에서 주기 2M+1인 주기적인 원소의 수열이 유한 길이 원소로 수렴하고, 이 수렴과 주기성이 동형사상에 의해 보존된다는 점에 기반한다.
• 결과적으로 유한 알파벳의 경우와 달리, 무한 알파벳 설정에서는 M-단계 이동 공간의 계층이 동형에 대해 엄격히 증가함을 확인한다.