[논문 리뷰] M{ö}bius orthogonality in density for zero entropy dynamical systems

A. M. Gomilko, Mariusz Lemańczyk외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 16.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 가산 많은 기약 측도를 가진 엔트로피가 0인 동역계에서, 자연수의 하위수열 중 로그 밀도가 1인 것에 대해 연속 관측량에 대한 모비우스 함수의 수직성을 확립한다. 타오의 두 번째 모멘트 방법을 로그 강한 MOMO 성질에 적응시킴으로써 저자들은 밀도에서의 균일한 모비우스 수직성을 증명하며, 이는 이전의 로그 Sarnak의 추측 결과를 확장하고, 이 계열의 시스템에 대해 모비우스 수직성의 밀도 형태를 확인한다.

ABSTRACT

It is proved that whenever a zero entropy dynamical system $(X,T)$ has only countably many ergodic measures and $μ$ stands for the arithmetic M{ö}bius function, then there exists a subset $A$ of integers depending only on the system, of logarithmic density one, such that for each $f$ continuous on $X$, $\frac1N \sum_{n\leq N} f(T^nx)μ(n) o 0$ as $N o\infty$, $N\in A$, uniformly in $x\in X$. In particular, the density version of M{ö}bius orthogonality holds.

연구 동기 및 목표

• 가산 많은 기약 측도를 가진 엔트로피가 0인 동역계에 대해 모비우스 수직성의 밀도 형태를 확립하기.
• 로그 Sarnak의 추측을 더 강한 밀도에서의 균일 수렴으로 확장하기.
• 타오의 두 번째 모멘트 방법을 가산 많은 기약 측도를 가진 시스템에 대해 로그 강한 MOMO 성질에 적응하기.
• 로그 강한 MOMO 성질이 로그 밀도가 1인 하위수열에 沿해 모비우스 수직성을 유도함을 보여주기.
• 전체 수렴에 의존하지 않고 밀도 한계에 초점을 맞춘, 모비우스 수직성에 대한 새로운 증명 기제 제공하기.

제안 방법

• 로그 강한 MOMO 성질에 대해 타오의 두 번째 모멘트 방법을 적응시키며, 이는 희소 간격에서 모비우스 함수의 가중 평균을 포함한다.
• 강한 MOMO 성질을 사용하여 $ b_{k+1} - b_k \to \infty $ 를 만족하는 간격 $ I_k = [b_k, b_{k+1}) $ 에서 $ \sum_{n \in I_k} \mu(n) f(T^n x) $ 형태의 가중 합의 성장을 통제한다.
• 로그 강한 MOMO 성질이 $ \mathbb{N} $ 의 로그 밀도가 1인 부분집합 $ A $ 에서 코시에 평균의 균일 수렴을 유도함을 증명한다.
• 합분할 적분과 조화합 추정을 적용하여 로그 밀도와 코시에 평균의 수렴성을 연결한다.
• $ \delta(A) = 1 $ 이면 $ \sum_{n \in A, n \leq N} \frac{1}{n} \sim \log N $ 임을 이용하여 코시에 평균의 정규화를 통제한다.
• 레마 5.5를 사용하여 부분합 $ \mu(n) $ 이 충분히 빠르게 감쇠하는 전체 밀도 부분집합 $ \tilde{A} $ 를 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로그 강한 MOMO 성질은 가산 많은 기약 측도를 가진 엔트로피가 0인 시스템에 대해 모비우스 수직성의 밀도 형태를 유도하는가?
• RQ2 타오의 두 번째 모멘트 방법은 전체 수렴이 아닌 로그 밀도가 1인 집합에 대해 코시에 평균의 수렴을 증명하는 데 적응 가능한가?
• RQ3 전체 모비우스 수직성이 알려져 있지 않은 경우에도, 가산 많은 기약 측도를 가진 시스템에 대해 균일한 밀도 형태의 모비우스 수직성이 존재하는가?
• RQ4 로그 찬라 추측은 엔트로피가 0인 시스템에 대해 모비우스 수직성의 밀도 형태를 유도할 수 있는가?
• RQ5 모든 $ x \in X $ 에 대해 $ \mu(n) f(T^n x) $ 의 코시에 평균이 0으로 수렴하는 데 필요한 $ A \subset \mathbb{N} $ 의 최소 밀도 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 엔트로피가 0이고 기약 측도가 가산적인 동역계 $ (X,T) $ 에 대해, $ \left\| \frac{1}{N} \sum_{n \leq N} \mu(n) f \circ T^n \right\|_{C(X)} \to 0 $ 이 $ N \to \infty $ 일 때 $ A \subset \mathbb{N} $ 에서 균일하게 성립한다.
• 로그 강한 MOMO 성질은 모비우스 수직성의 밀도 형태를 유도하며, Sarnak의 추측의 밀도 형태에 대한 충분조건을 제공한다.
• 구성된 집합 $ A $ 는 $ \delta(A) = 1 $ 을 만족하여, $ \lim_{N \to ∞} \frac{1}{\log N} \sum_{n \in A, n \leq N} \frac{1}{n} = 1 $ 이고, 이는 코시에 유형의 평균에 대한 정규화가 올바르게 이루어짐을 보장한다.
• 결과는 전체 수렴보다는 약하지만 상한 밀도 1보다 강한, 로그 밀도가 1인 하위수열에 수렴함을 보여, 날카로운 결과이다.
• 증명 기법은 전체 모비우스 함수의 수렴에 의존하지 않고, 가중 평균과 밀도 논증을 사용하여 균일성을 확보한다.
• 이 방법은 로그 찬라 추측이 존재하는 전체 밀도 집합 $ A $ 가 존재함을 확인하며, 이 집합에서 모비우스 함수가 엔트로피가 0인 시스템에 대해 코시에 수직성 조건을 만족함을 확인한다.