[논문 리뷰] Maass spaces on U(2,2) and the Bloch-Kato conjecture for the symmetric square motive of a modular form

Krzysztof Klosin|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 08.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소 판별식을 가진 허수 정수환 위의 유니타리 군 U(2,2)에 대해 아델릭 마스 공간을 도입하고, 타원 모듈라 형식으로의 헤크 연산자-준동형 내림을 수립한다. 마스 상승과 마스 공간과 수직인 허미션 형식 간의 합동을 통해 블로흐-카토 추측에 대한 증거를 제시하며, 유니타리 설정에서 하더의 추측에 대한 해석적 해석을 증명한다.

ABSTRACT

Let K be an imaginary quadratic field of discriminant -D_K<0. We introduce a notion of an adelic Maass space S_{k, -k/2}^M for automorphic forms on the quasi-split unitary group U(2,2) associated with K and prove that it is stable under the action of all Hecke operators. When D_K is prime we obtain a Hecke-equivariant descent from S_{k,-k/2}^M to the space of elliptic cusp forms S_{k-1}(D_K, χ_K), where χ_K is the quadratic character of K. For a given ϕ\in S_{k-1}(D_K, χ_K), a prime l >k, we then construct (mod l) congruences between the Maass form corresponding to ϕand hermitian modular forms orthogonal to S_{k,-k/2}^M whenever the l-adic valuation of L^{alg}(\Sym^2 ϕ, k) is positive. This gives a proof of the holomorphic analogue of the unitary version of Harder's conjecture. Finally, we use these congruences to provide evidence for the Bloch-Kato conjecture for the motives \Sym^2 ρ_ϕ(k-3) and \Sym^2 ρ_ϕ(k), where ρ_ϕ denotes the Galois representation attached to ϕ.

연구 동기 및 목표

• 소 판별식을 가진 모든 허수 정수환에 대해 이전의 대칭 제곱 모티브의 블로흐-카토 추측 결과를 확장하기 위해.
• Q(i)와 같은 유사수 1인 필드에 의존한 이전 방법의 한계를 극복하기 위해.
• U(2,2)의 자동형 함수에서 타원 모듈라 형식 S_{k−1}(D_K, χ_K)으로의 헤크 연산자-준동형 내림을 구성하기 위해.
• 마스 공간과 수직인 형식과의 합동을 통해 세일머 그룹에 속하는 원소를 생성하기 위해.
• 세일머 그룹의 평가 기준을 통해 Symm²ρφ(k−3)와 Symm²ρφ(k)에 대한 블로흐-카토 추측에 대한 증거를 제공하기 위해.

제안 방법

• 모든 헤크 연산자에 대해 안정적인 U(2,2)(A) 위의 새로운 아델릭 마스 공간 S_{k,−k/2}^M을 도입한다.
• L-값과 자동형 표현 공간 내의 내적을 연결하기 위해 랭킨-셀버그 형식의 유사한 공식을 증명한다.
• D_K가 소수일 때, 아델릭 마스 공간에서 타원 모듈라 형식 공간 S_{k−1}(D_K, χ_K)으로의 헤크 연산자-준동형 내림을 구성한다.
• val_ℓ(L^alg(Symm²φ, k)) > 0일 때, φ의 마스 상승과 마스 공간과 수직인 허미션 형식 간의 합동을 ℓ를 모듈로로 사용하여 구성한다.
• 유르반의 방법을 적용하여 갈루아 코hom로지에서 비분할 확장을 구성하고, 이러한 합동으로부터 H¹_f(K, W)의 부분모듈을 생성한다.
• 비캡슐러 극대 자동형 표현이 있는 U(2,2)에 부착된 갈루아 표현이 절대적으로 기약임을 가정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 군에서의 자동형 함수 간의 합동을 통해 대칭 제곱 모티브의 블로흐-카토 추측을 지지할 수 있는가?
• RQ2 소 판별식을 가진 허수 정수환에 대해, U(2,2) 자동형 함수에서 타원 모듈라 형식으로의 헤크 연산자-준동형 내림이 존재하는가?
• RQ3 마스 상승과 수직인 형식 간의 합동을 통해 유니타리 군에서 하더의 추측에 대한 해석적 해석을 증명할 수 있는가?
• RQ4 유사수 1 필드를 초월해 고차수 자동형 함수에서의 합동 방법을 얼마나 일반화할 수 있는가?
• RQ5 세일머 그룹의 평가 기준은 대칭 제곱 모티브의 특별한 L-값과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 아델릭 마스 공간 S_{k,−k/2}^M은 모든 헤크 연산자의 작용에 대해 안정적이며, U(2,2) 위의 자동형 함수의 체계적 연구를 가능하게 한다.
• D_K가 소수일 때, S_{k,−k/2}^M에서 S_{k−1}(D_K, χ_K)로의 헤크 연산자-준동형 내림이 수립된다.
• val_ℓ(L^alg(Symm²φ, k)) > 0일 때 정확히, φ의 마스 상승과 마스 공간과 수직인 허미션 형식 간의 합동이 ℓ를 모듈로로 구성된다.
• 이러한 합동은 갈루아 코호몰로지에서 비분할 확장을 유도하며, 마스 이상의 국소 헤크 대수에서의 지수에 해당하는 크기의 H¹_f(K, W)의 부분모듈을 생성한다.
• 세일머 그룹 H¹_f(K, W)의 순서의 평가 기준은 val_ℓ(#H¹_f(K, W)) ≥ val_ℓ(#H^NM,χ_m_φ / Φ_m_φ(Ann(f_φ,χ)))를 만족하며, 이는 블로흐-카토 추측에 대한 증거를 제공한다.
• 추가 가정 하에 val_ℓ(#H¹_f(K, W)) ≥ val_ℓ(#O/L^int(Symm²φ, k))가 성립하여, 세일머 그룹 순서가 L-값 이상수에 포함됨을 지지한다.