[논문 리뷰] Mack's estimator motivated by large exposure asymptotics in a compound Poisson setting

Nils Engler, Filip Lindskog|arXiv (Cornell University)|2023. 10. 18.

Probability and Risk Models인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매크의 체인 라이더 예측기와 그 조건부 예측 오차의 평균제곱오차 추정기들이, 원래의 분포 자유 가정과 충돌하는 바, 대규모 노출 근사에서 복합 포아송 모형으로부터 자연스럽게 유도됨을 보여준다. 주요 기여는 매크의 널리 쓰이는 추정기를 고전적 보험 손해 모형에서 분포 자유 프레임워크에 의존하지 않고도 대규모 노출 점근적 이론을 통해 정당화할 수 있음을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

The distribution-free chain ladder of Mack justified the use of the chain ladder predictor and enabled Mack to derive an estimator of conditional mean squared error of prediction for the chain ladder predictor. Classical insurance loss models, i.e. of compound Poisson type, are not consistent with Mack's distribution-free chain ladder. However, for a sequence of compound Poisson loss models indexed by exposure (e.g. number of contracts), we show that the chain ladder predictor and Mack's estimator of conditional mean squared error of prediction can be derived by considering large exposure asymptotics. Hence, quantifying chain ladder prediction uncertainty can be done with Mack's estimator without relying on the validity of the model assumptions of the distribution-free chain ladder.

연구 동기 및 목표

• 매크의 분포 자유 체인 라이더 추정기를 고전적 복합 포아송 손해 모형과 조율하기 위해, 표준 가정 하에서 상충되는 바를 해결한다.
• 노출(예: 계약 수)이 무한으로 갈 때, 체인 라이더 예측기와 그 예측 오차의 평균제곱오차 추정기가 점근적 극한으로 나타남을 보여준다.
• 더 현실적인 파rametric 모형에서 유도된 점근적 이론을 통해 매크 추정기의 강건성에 대한 이론적 기반을 제공한다.
• 매크 추정기의 통계적 타당성에 대한 오랫동안 지속된 논란을 잘 정의된 점근적 영역에 기반하여 해결한다.

제안 방법

• 저자들은 각 셀의 증분 손해가 동일한 청구 금액 분포와 유한한 분산을 가진 독립적인 복합 포아송 과정으로 모델링되는 복합 포아송 모형을 분석한다.
• 노출 α(계약 수를 나타냄)로 인덱싱된 모형의 수열을 고려하고, α → ∞ 일 때의 점근적 행동을 연구한다.
• 약한 수렴과 슬러츠테오럼을 사용하여 체인 라이더 예측기와 그 예측 오차 추정기의 점근적 분포를 도출한다.
• 청구 발생의 수의 과정적 구조를 다루기 위해 마틴갈 중앙극한정리와 보상 과정 근사법을 활용한다.
• 핵심 구성 요소로는 조건부 기대값, 스케일된 편차의 점근적 정규성, 그리고 예측 오차를 과정 오차와 파ram터 추정 오차 성분으로 분해하는 것들이 포함된다.
• 대규모 노출 하에서 핵심 확률적 구성 요소의 점근적 독립성과 경험 모멘트의 수렴을 활용하여 유도한다.

Figure 1: Blue histograms: standardized Mack’s estimator ( 16 ) of conditional mean squared error. Orange histograms: true standardized conditional mean squared error ( 17 ). The three plots shown correspond to accident years $i=3,5,8$ from left to right.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매크의 체인 라이더 예측기와 그 예측 오차의 평균제곱오차 추정기는 대규모 노출 점근적 이론 하에서 고전적 복합 포아송 손해 모형에서 도출될 수 있는가?
• RQ2 노출이 증가하는 복합 포아송 모형의 점근적 행동은 매크의 분포 자유 프레임워크와 동일한 추정기를 도출하는가?
• RQ3 매크의 조건부 평균제곱오차 추정기는 그 원래 모형의 분포 자유 가정을 위반하는 파rametric 모형에서 정당화될 수 있는가?
• RQ4 대규모 노출 하에서 복합 포아송 설정에서 체인 라이더 예측기와 그 예측 오차의 한계 분포는 무엇인가?
• RQ5 매크 추정기의 강건성은 모형 특화 가정이 아닌 점근적 이론을 통해 설명될 수 있는가?

주요 결과

• 매크의 체인 라이더 예측기와 조건부 예측 오차의 평균제곱오차 추정기는 매크의 분포 자유 가정과 충돌하는 바, 복합 포아송 모형의 대규모 노출 극한으로서 자연스럽게 나타난다.
• 노출 α → ∞ 일 때, 스케일된 예측 오차는 평균 0, 청구 금액 및 개발 패턴 파ram터에 의해 결정되는 분산을 가진 정규 랜덤 변수로 수렴한다.
• 매크의 평균제곱오차 공식에서의 파ram터 추정 오차 성분 추정기는 복합 포아송 모형 하에서 점근적으로 타당하며, 이는 고전적 손해 예측에 그의 추정기를 사용하는 데에 정당성을 제공한다.
• 예측 오차의 한계 분포는 파aram터 추정기의 점근적 정규성에 기인한 카이제곱 성분을 포함하며, 매크의 추정기의 구조를 확인한다.
• 청구 건수 과정이 포아송이 아니어도, 보상 과정 근사가 성립하고 청구 금액의 2차 모멘트가 유한하다면 결과는 그대로 성립한다.
• 대규모 노출 점근적 이론이 제공하는 이론적 정당성은 매크의 추정기를 실무에서 계속 사용할 수 있음을 뒷받침하며, 분포 자유 모형 가정의 타당성과는 독립적이다.