[논문 리뷰] Macroscopic parameters of Fokker-Planck flows

Igor A. Tanski|ArXiv.org|2006. 06. 06.

Statistical Mechanics and Entropy참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 속도 분포에 대한 평균을 취하여 Fokker-Planck 시스템에 대한 매크로스코픽 유체역학 방정식을 유도하며, 그 결과로 얻어진 연속체 모델이 등온, 점성, 압축성 유체처럼 행동함을 보여준다. 분포 함수의 푸리에 변환을 사용하여 질량, 운동량, 에너지의 보존 법칙을 유도하고, Fokker-Planck 계수(감쇠 α 및 확산 k)와 유체 점도 및 온도 사이의 관계를 k/α = kBT로 연결하는 상태 방정식을 수립한다.

ABSTRACT

The aim of this work is to investigate properties of solutions of Fokker - Planck equation in the context of continuum mechanics. We show that average quantities, calculated for these solutions approximately satisfy equations of isothermal motion of viscous ideal gas.

연구 동기 및 목표

• 속도 공간 평균을 사용하여 Fokker-Planck 방정식에서 매크로스코픽 유체역학 방정식을 유도하기.
• 비상호작용 입자 시스템에서 평균화된 양이 만족하는 보존 법칙(질량, 운동량, 에너지)을 규명하기.
• Fokker-Planck 연속체의 상태 방정식을 수립하여 응력과 압력을 운동학적 매개변수와 연결하기.
• Fokker-Planck 계수(α, k)를 점도 및 온도와 k/α = kBT를 통해 연결하기.
• Fokker-Planck 방정식의 기본 해를 분석하고 장시간 근처에서 유체역학 일致성 여부를 검증하기.

제안 방법

• 분포 함수 n(xi, vi)의 속도 공간 평균을 통해 매크로스코픽 양(밀도 ρ, 속도 ui, 응력 σij, 에너지 e)을 정의하기.
• 분포 함수의 푸리에 변환 M(t, xi, qj)을 사용하여 매크로스코픽 매개변수를 qj = 0에서의 M의 도함수로 표현하기.
• Fokker-Planck 방정식에 exp(−ivkqk)를 곱하고 속도에 대해 적분하여 M의 진화 방정식 유도하기.
• 변환된 방정식에 qj = 0을 대입하여 질량, 운동량, 에너지 보존 법칙을 도출하기.
• 푸리에 변환 M에 대해 가우시안 형태를 가정하여 체계를 닫고 이상기체 법칙과 유사한 상태 방정식을 유도하기.
• 장시간 근처에서 유도된 방정식이 Fokker-Planck 방정식의 기본 해와 일치하는지 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Fokker-Planck 해의 평균 매크로스코픽 양이 표준 연속체역학 보존 법칙을 만족하는가?
• RQ2 Fokker-Planck 시스템은 상태 방정식이 있는 점성, 압축성 유체로 해석될 수 있는가?
• RQ3 Fokker-Planck 계수 α와 k의 물리적 해석은 점도 및 온도와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 Fokker-Planck 방정식의 기본 해에서 매크로스코픽 매개변수(밀도, 속도, 응력)는 어떻게 진화하는가?
• RQ5 장시간 근처에서 유도된 유체역학 방정식이 운동량 보존 법칙을 만족하는가?

주요 결과

• 평균 밀도 ρ와 속도 ui는 연속성 방정식 ∂ρ/∂t + ∂(ρui)/∂xi = 0를 만족한다.
• 운동량 보존 법칙 ∂(ρui)/∂t + ∂(ρuiuj)/∂xj − ∂σij/∂xj + αρui = 0가 유도되었으며, 기본 해에 대해 검증되었다.
• 에너지 보존 법칙 ∂e/∂t + ∂Fi/∂xi − 2αe = −3kρ가 유도되었으며, Fi는 에너지 흐름이다.
• 응력 텐서 σij는 속도 분산과 관련되어 있으며, 상태 방정식 p = 2/3 E가 회복되어 운동학 이론과 일致한다.
• 관계 k/α = kBT가 확립되어 Fokker-Planck 계수를 볼츠만 상수를 통해 온도와 연결한다.
• 장시간 근처에서 밀도 ρ는 확산 방정식의 해와 근사하며, 변형률률 εij = (α/θ)(1−e−αt)²δij를 갖는 점성, 압축성 유체 행동을 나타낸다.