[논문 리뷰] MAD Families and SANE Player

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|2009. 04. 05.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 ℕ의 무한 부분집합들로 구성된 포화된 MAD 가족—즉, 최대 거의 disjoint 가족이면서 완전히 분리 가능한 것—이 다양한 집합론적 가정 하에서 존재하는지 조사한다. 강제법과 pcf 이론을 사용하여, 연속체가 ℵω보다 작거나, 측정 가능한 기수를 가진 내부 모델이 없거나, 특정 기수 불변량 제약 조건이 만족될 경우 이러한 가족이 존재함을 입증함으로써, 집합론에서 오랫동안 남아있던 일致성 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We throw some light on the question: is there a MAD family (= a family of infinite subsets of N, the intersection of any two is finite) which is completely separable (i.e. any X subseteq N is included in a finite union of members of the family or include a member of the family). We prove that it is hard to prove the consistency of the negation: (a) if 2^{aleph_0} < aleph_omega, then there is such a family (b) if there is no such families then some situation related to pcf holds whose consistency is large.

연구 동기 및 목표

• ℕ 위에서 포화된 MAD 가족이 존재하는 일致성 조건을 규명하는 것.
• cardinal 불변량 𝔞*, 𝔰, 𝔟와 포화된 MAD 가족의 존재성 간의 관계를 분석하는 것.
• 그러한 가족의 존재하지 않음이 강력한 pcf 이론적 가정을 암시함을 보여, 그 일치성의 비자명성을 입증하는 것.
• 이전의 거의 disjoint 가족과 분리 가능성에 관한 결과를 포화된 경우로 확장하는 것.
• 게임 이론적 및 강제법적 구성 기법이 이러한 가족을 구축하는 데 어떻게 기여하는지 명확히 하는 것.

제안 방법

• 2^ℵ₀ < ℵω라는 가정 하에 적절한 순서 집합을 사용한 강제법을 통해 포화된 MAD 가족을 구성하는 것.
• 포화된 MAD 가족의 존재하지 않음에 대한 일치성 강도를 분석하기 위해 pcf 이론적 방법을 사용하는 것.
• MAD와 SANE 플레이어 사이의 게임 이론적 프레임워크를 도입하여 구성 과정을 안내하지만, 최종 증명은 직접적인 강제법을 사용한다.
• 문제를 𝔰와 𝔞*와 같은 기수 불변량으로 환원하여, 𝔰 < 𝔞*가 존재를 보장함을 보이는 것.
• 분할 트리와 거의 disjoint 가족을 활용한 표준 MAD 가족 구성 방법의 변형을 사용하는 것.
• ω^ω에 속하는 함수 f에 대한 '복종' 개념을 도입하여 거의 disjoint 가족의 구조를 통제하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 집합론적 가정 하에서 ℕ 위에 포화된 MAD 가족이 존재하는가?
• RQ2 포화된 MAD 가족이 존재하지 않는다는 것의 일치성 강도는 무엇인가?
• RQ3 𝔞*, 𝔰, 𝔟와 같은 기수 불변량은 포화된 MAD 가족의 존재성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 이전에 생각했던 것보다 더 약한 가정 하에서 ZFC 내에서 이러한 가족의 존재를 증명할 수 있는가?
• RQ5 포화된 MAD 가족의 존재하지 않음과 pcf 이론적 현상 사이에 연결 고리가 존재하는가?

주요 결과

• 2^ℵ₀ < ℵω이면 ℕ 위에 포화된 MAD 가족이 존재하며, 이 가족은 [ω]^ℵ₀의 임의의 밀도 있는 부분집합 J* 내에서 구성 가능하다.
• 포화된 MAD 가족이 존재하지 않으면, 높은 일치성 강도를 가진 pcf 구성이 존재함을 암시하며, 이는 이러한 가족의 일치성이 강력한 집합론적 가정에 상대적으로 비자명하다는 것을 시사한다.
• 측정 가능한 기수를 가진 내부 모델이 없다면, 2^ℵ₀ < ℵω라는 가정 없이도 포화된 MAD 가족이 존재한다.
• 𝔰 < 𝔞*이면 포화된 MAD 가족의 존재가 보장되며, 이 조건은 𝔰 ≤ 𝔞*와 𝔰 < 𝔞로 약화될 수 있다.
• 기수 불변량 𝔞*는 𝔟 이하로 내림값을 가지며 𝔞 이하로 올림값을 가지며, 포화된 MAD 가족의 존재를 결정하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 본 논문은 '완전히 분리 가능한' MAD 가족의 네 가지 변형이 서로 동치임을 입증하여, 포화성 분석을 단순화한다.