[논문 리뷰] Madness and regularity properties

Haim Horowitz, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 26.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 ZF+DC의 모델을 구성하여, 최대 거의 disjoint (mad) 가족이 존재하지만, 모든 실수 집합이 $\omega^\omega$-bounding, 충분히 절대적인 강제 개념(특히 르베그 가측성)에 대해 가측성이 있음을 보여준다. $\omega^\omega$-bounding 일반화를 기반으로 한 새로운 융합 추론을 통해 저자들은 르베그 가측성이 mad 가족의 존재를 함의하지는 않음을 보이며, 집합론에서 핵심적인 독립 질문을 해결한다.

ABSTRACT

Starting from an inaccessible cardinal, we construct a model of $ZF+DC$ where there exists a mad family and all sets of reals are $\mathbb Q$-measurable for $ω^ω$-bounding sufficiently absolute forcing notions $\mathbb Q$.

연구 동기 및 목표

• ZF+DC의 모델에서 mad 가족의 존재와 르베그 가측성 간의 독립성을 조사하기 위해.
• 모든 실수 집합이 르베그 가측성이 되는 것과 mad 가족의 존재가 일致함을 보여주기 위해.
• $\omega^\omega$-bounding, 충분히 절대적인 강제 개념이 mad 가족의 존재를 함의하지는 않음을 보여주기 위해.
• 모든 실수 집합이 $\omega^\omega$-bounding 강제에 의해 가측되고, 동시에 mad 가족이 존재하는 모델을 불가역 기수로부터 구성하기 위해.
• 약한 연속체 가설(WCH)이 ZF+DC + '모든 실수 집합이 르베그 가측성'과 독립임을 해결하기 위해.

제안 방법

• 모든 $\mathbb{P} \in H(\kappa)$ 에서의 강제 개념 $\mathbb{P}$ 와 mad 가족의 근사값 $\Gamma$ 로 이루어진 쌍 $(\mathbb{P}, \Gamma)$ 로 구성된 부분 순서 $AP$ 를 도입한다.
• 유한 합집합의 이름들이 기저 모델의 실수에 의해 지배되지 않도록 하는 조건을 정의하여, 거의 disjoint 성질을 유지한다.
• Solovay의 방법을 변형하여 $\mathbb{Q}$-일반화 실수 위에서 $\omega^\omega$-bounding, 충분히 절대적인 강제 개념 $\mathbb{Q}$ 에 대해 융합 추론을 적용한다.
• 모든 실수 집합이 $\mathbb{Q}$-가측성이 되는 모델을 구성하기 위해 $AP$ 와 일반화 확장을 결합한 강제 반복을 사용한다.
• 완전 통합을 통해 유도된 자동형사상에 의한 대칭성 추론을 통해, $\mathbb{R}$ 에서 mad 가족으로의 삽입 사상이 존재하면 모순이 발생함을 도출한다.
• 구성의 일致성을 보장하기 위해 불가역 기수의 존재에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 실수 집합이 르베그 가측성일 때, ZF+DC 모델에서 mad 가족의 존재가 함의되지 않는가?
• RQ2 모든 실수 집합이 $\omega^\omega$-bounding 강제 개념에 대해 가측성일 때, mad 가족이 존재할 수 있는가?
• RQ3 약한 연속체 가설(WCH)은 ZF+DC + '모든 실수 집합이 르베그 가측성'과 독립적인가?
• RQ4 모든 실수 집합이 $\mathbb{Q}$-가측성인 모델에서, $\mathbb{Q}$ 가 $\omega^\omega$-bounding 이고 충분히 절대적일 때, mad 가족의 존재가 일치하는가?
• RQ5 최소한의 큰 기수 가정 하에, mad 가족의 존재는 완전한 르베그 가측성과 호환되는가?

주요 결과

• 논문은 ZF+DC의 모델을 구성하여, mad 가족이 존재하고 모든 실수 집합이 $\omega^\omega$-bounding, 충분히 절대적인 강제 개념 $\mathbb{Q}$ 에 대해 $\mathbb{Q}$-가측성이 되는 것을 보였다.
• 르베그 가측성이 mad 가족의 존재를 함의하지 않음을 증명하였으며, 랜덤 실수 강제가 $\omega^\omega$-bounding 이므로 mad 가족과 호환됨을 보였다.
• 모델는 $\neg WCH$ 를 만족하여, 약한 연속체 가설이 ZF+DC + '모든 실수 집합이 르베그 가측성'과 독립임을 보였다.
• 강제를 통해 가족의 거의 disjoint 성질을 유지하기 위해 $\mathbb{Q}$-일반화 실수 위에서 새로운 융합 추론을 사용하였다.
• 반대로, $\mathbb{R}$ 에서 mad 가족으로의 삽입 사상이 존재하면 완전 통합을 통해 유도된 자동형사상에 의해 모순이 발생함을 보여, 가족의 최대성 유지가 확인되었다.
• 결과는 불가역 기수에 대한 일관성으로 보장되며, 이는 이전에 프로퍼 클래스의 윌딩 카디널이 필요한 구성보다 개선된 것이다.