[논문 리뷰] Magic labelings of distance at most 2

Rinovia Simanjuntak, Mona Elviyenti외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 30.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 그래프에 대한 D-거리 마법 레이블링을 조사하며, 기존의 거리 마법 레이블링을 임의의 거리 집합 D ⊆ {0,1,2}로 일반화한다. 원소가 {0,1,2}인 부분집합인 D에 대해 순환 그래프 및 지름 2 이하인 그래프에서 이러한 레이블링이 존재하는 데 필요한 필수 조건과 충분 조건을 규명하고, 특정 정규 그래프 및 다중분할 그래프에서의 존재하지 않음을 증명하며, 지름 3인 무한한 {1,2}-거리 마법 레이블링 정규 그래프의 가족을 구성한다.

ABSTRACT

For an arbitrary set of distances $D\subseteq \{0,1, \ldots, d\}$, a graph $G$ is said to be $D$-distance magic if there exists a bijection $f:V ightarrow \{1,2, \ldots , v\}$ and a constant {\sf k} such that for any vertex $x$, $\sum_{y\in N_D(x)} f(y) ={\sf k}$, where $N_D(x) = \{y \in V| d(x,y) \in D\}$. In this paper we study some necessary or sufficient conditions for the existence of $D$-distance magic graphs, some of which are generalization of conditions for the existence of $\{1\}$-distance magic graphs. More specifically, we study $D$-distance magic labelings for cycles and $D$-distance magic graphs for $D\subseteq\{0,1,2\}$.

연구 동기 및 목표

• 거리 마법 레이블링을 {1}-거리 및 {0,1}-거리 마법 레이블링의 결과를 확장하여 임의의 거리 집합 D ⊆ {0,1,2}로 일반화하는 것.
• 특히 D = {2}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}인 경우에 대해 D-거리 마법 레이블링 존재에 필요한 필수 조건과 충분 조건을 규명하는 것.
• 특히 순환 그래프, 완전 다중분할 그래프, 정규 그래프와 같은 그래프들이 다양한 D에 대해 D-거리 마법 레이블링을 허용하는지 특성화하는 것.
• 비정규 그래프 및 지름이 더 큰 그래프에서 이러한 레이블링의 존재 문제에 대해 열려 있는 문제를 탐색하는 것.

제안 방법

• D-거리 마법 레이블링을 정의한다: 전단사 함수 f: V → {1,2,…,v}로서, 임의의 정점 x로부터 거리 d ∈ D인 모든 정점의 레이블 합이 일정한 경우를 말한다.
• 이웃 수의 크기 분석을 활용한다: 만약 |ND(x)|가 홀수이고 그래프가 (D,r)-정규이며 r가 홀수이면, D-거리 마법 레이블링이 존재하지 않는다.
• 합 공식 기반의 조합적 제약 조건을 적용한다: D-거리 마법 레이블링이 존재하기 위해서는 레이블의 총합이 |ND(x)|와 상수 k에 따라 달라지는 모듈로 조건을 만족해야 한다.
• 특정 간선 규칙에 따라 분할된 집합으로 나누어진 정점들을 가진 대칭 그래프 구성 기법을 사용하여 {1,2}-거리 마법 레이블링의 구체적 예를 구성한다.
• {1}-거리 및 {0,1}-거리 마법 레이블링에 대한 기존 결과를 활용하여 {0,2}- 및 {1,2}-거리 마법 레이블링에 대한 조건을 유도한다.
• 모순 증명 기법을 활용한다 (예: 두 정점이 같은 레이블 합을 가지지만 서로 다른 레이블을 가진다고 가정함): 특정 그래프 가족에서 존재하지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 D ⊆ {0,1,2}일 때 어떤 그래프에서 D-거리 마법 레이블링이 존재하는가, 특히 D = {2}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}인 경우에 대해?
• RQ2 완전 다중분할 그래프가 {2}-거리 마법 레이블링을 허용하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 지름 ≥4인 비정규 그래프 또는 그래프 가족이 {1,2}-거리 마법 레이블링을 가질 수 있는가?
• RQ4 지름 ≥3인 그래프가 {0,1,2}-거리 마법 레이블링을 가질 수 있는가, 아니면 지름 2가 필수적인가?
• RQ5 D ⊆ {0,1,2}인 경우 어떤 트리가 D-거리 마법 레이블링을 허용하는가?

주요 결과

• 완전 다중분할 그래프는 같은 파artite 집합에 속한 정점들이 홀수 크기의 D-이웃 집합을 공유하고, 홀수 정규성일 경우 {2}-거리 마법 레이블링이 불가능하다.
• 완전 대칭 다중분할 그래프 H_{n,p}는 n이 짝수거나 n과 p가 모두 홀수일 때에만 {0,2}-거리 마법 레이블링이 가능하다.
• 지름 2인 홀수 순서의 r-정규 그래프는 r가 짝수이고 2 ≤ r ≤ n−2일 때에만 {0,2}-거리 마법 레이블링이 가능하다.
• 모든 n ≥ 1에 대해 그래프 C₄[Ḡₙ]는 {0,2}-거리 마법 레이블링이 가능하다. 이는 짝수 순서 그래프가 {0,2}-거리 마법 레이블링을 가질 수 있음을 보여준다.
• 지름 3인 2n+2개의 정점과 n-정규성을 가진 무한한 그래프 가족이 존재하며, 이들은 {1,2}-거리 마법 레이블링이 가능하다. 이는 대칭 정점 및 간선 집합을 통해 구성된다.
• 지름 2인 그래프는 d = 2인 {d}-거리 마법 레이블링이 불가능하다. 이는 일반적인 추측을 제기한다: 지름 d인 그래프는 {d}-거리 마법 레이블링이 불가능하다.