[논문 리뷰] Maharam-Types and Lyapunov's Theorem for Vector Measures on Locally Convex Spaces without Control Measures

M. Ali Khan, Nobusumi Sagara|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 23.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 제어 측도 없이 국소적으로 볼록한 하우스도르프 공간(lcHs)에서 벡터 측도에 대한 라파노프 볼록성 정리를 증명하며, 보르바키–클루바네크–류이스 적분을 사용하여 정확한 형태의 정리를 도출한다. 이는 유도된 불리안 σ-대수의 비분리성에 의해 벡터 측도 대수의 포화를 특성화하고, 포화가 라파노프 볼록성 정리와 제어 시스템에서의 반반 원리와 동치임을 증명한다.

ABSTRACT

We formulate the saturation property for vector measures in lcHs as a nonseparability condition on the derived Boolean $σ$-algebras by drawing on the topological structure of vector measure algebras. We exploit a Pettis-like notion of vector integration in lcHs, the Bourbaki--Kluvánek--Lewis integral, to derive an exact version of the Lyapunov convexity theorem in lcHs without the BDS property. We apply our Lyapunov convexity theorem to the bang-bang principle in Lyapunov control systems in lcHs to provide a further characterization of the saturation property.

연구 동기 및 목표

• 벡터 측도에서 유도된 불리안 σ-대수의 비분리성 조건을 사용하여 제어 측도 없이 lcHs에서의 포화 성질을 수식화하기.
• 보르바키–클루바네크–류이스 적분을 사용하여 BDS 성질이 없는 lcHs로 라파노프 볼록성 정리를 확장하기.
• lcHs에서의 포화를 반반 원리와 라파노프 제어 시스템을 통해 특성화하기.
• 무한차원 설정에서 포화, 라파노프 볼록성, 반반 원리 간의 동치성을 확립하기.

제안 방법

• 벡터 측도에서 유도된 가측 집합의 불리안 σ-대수에 대한 비분리성 조건으로 포화를 공식화하기.
• 제어 측도가 필요 없이 lcHs에서 페티스 유사 벡터 적분 방법으로서 보르바키–클루바네크–류이스 적분을 활용하여 적분을 정의하기.
• 참고 문헌 [17]의 벡터 측도 대수의 위상적 구조를 활용하여 L¹(m) 공간의 완비성과 분리성 분석하기.
• 제품 공간 L¹(n_i)에서 약한 컴acts와 볼록성 추론을 통해 라파노프 측도 성질을 확립하기.
• 측정 가능한 선택과 제어 시스템의 도달 가능한 집합을 연결하기 위해 통합 연산자 T: ∏L¹(n_i) → ∏X_i 를 활용하기.
• 반반 원리를 적용하여 도달 가능한 집합의 약한 컴팩트성은 포화를 함의함을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 측도 없이 lcHs에서의 포화 성질은 어떻게 벡터 측도에 대해 수식화할 수 있는가?
• RQ2 BDS 성질이 없는 lcHs에서 정확한 형태의 라파노프 볼록성 정리를 확립할 수 있는가?
• RQ3 lcHs에서의 포화, 반반 원리, 라파노프 제어 시스템 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 벡터 측도의 포화는 무한차원 lcHs에서 그 범위의 볼록성과 약한 컴팩트성과 동치인가?
• RQ5 lcHs에서 라파노프 볼록성 정리는 제어 시스템의 도달 가능성으로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• lcHs에서의 벡터 측도의 포화는 관련된 가측 집합의 불리안 σ-대수의 비분리성과 동치이다.
• BDS 성질이 없는 lcHs에서 라파노프 볼록성 정리는 벡터 측도 대수가 포화되어 있을 때에만 성립한다.
• 모든 벡터 측도에 대해 반반 원리가 성립하려면 m이 포화되어 있어야 하며, 그 역도 성립한다.
• 닫힌 벡터 측도 m: F → X^I에 대해, 모든 Γ ∈ M_bfc(Ω, ℝ^I)에 대해 m이 라파노프 제어 시스템이 되려면 m이 포화되어 있어야 하며, 그 역도 성립한다.
• 도달 가능한 집합 A_Γ(m)이 극단적 선택의 집합 A_ex_Γ(m)과 일치할 때이고, 그 경우에만 측도가 포화되어 있으며, 이는 제어 시스템과 포화 사이의 이중성 관계를 확립한다.
• 통합 연산자 T: ∏L¹(n_i) → ∏X_i 는 약한 위상에 대해 연속이며, 이는 포화 조건 하에서 벡터 측도의 범위가 약한 컴팩트성을 가짐을 보장한다.