[논문 리뷰] Mahler's method in several variables II: Applications to base change problems and finite automata

Boris Adamczewski, Colin Faverjon|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 13.

semigroups and automata theory참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다변수 상황에서 Mahler의 방법을 확장하여 기저 변화 문제를 해결하고 유한 오ート마타 이론을 다루기 위해 Mahler 함수의 대수적 독립성을 연구한다. 제1부에서 유도된 러핑 정리와 순수성 결과를 활용하여, 스펙트럴 반경이 곱으로 의존하는 Mahler 함수는 충분히 독립적인 대수적 점에서 대수적으로 독립된 값을 가짐을 증명한다. 이는 오ート마타 기반의 수 체계 표현과 Hecke–Mahler 급수에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This is the second part of a work devoted to the study of linear Mahler systems in several variables from the perspective of transcendence and algebraic independence. From the lifting theorem obtained in the first part, we first derive a general result, showing that Mahler functions in several variables, associated with transformations having multiplicatively dependent spectral radii, take algebraic independent values at algebraic points provided that these points are sufficiently independent. Then, we focus on applications of this result and of the two main results of Part I of this work. Our main application concerns problems about the representation of natural and real numbers in integer bases involving automata theory. These can be translated in terms of algebraic relations over $\overline{\mathbb Q}$ between values of Mahler functions in one variable. We also apply our results to the algebraic independence of Mahler functions and their specializations, and to the study of the values of Hecke-Mahler series.

연구 동기 및 목표

• 변환 행렬의 스펙트럴 반경이 곱으로 의존할 경우, 다변수 Mahler 함수의 대수적 독립성에 관한 일반적 결과를 확립하는 것.
• 제1부에서 유도된 러핑 정리와 순수성 정리를 활용하여 오ート마타 이론에서의 기저 변화 문제를 해결하는 것.
• 다변수 Mahler 함수의 특수화와 그 대수적 점에서의 값들 사이의 대수적 독립성을 분석하는 것.
• Mahler 시스템의 틀을 활용하여 Hecke–Mahler 급수의 값들 사이의 대수적 독립성을 연구하는 것.
• 유한 오ート마타 기반의 수 체계 표현 문제를 $\overline{\mathbb{Q}}$ 위에서의 대수적 독립성 문제로 체계적으로 변환하는 방법을 개발하는 것.

제안 방법

• 제1부의 러핑 정리를 활용하여, 대수적 점에서 Mahler 함수 값 사이의 대수적 관계를 $\overline{\mathbb{Q}}(\mathbf{z})$ 위에서 함수 자체 사이의 대수적 관계로 옮기는 것.
• 순수성 정리를 적용하여 스펙트럴 반경이 곱으로 독립일 경우, 다수의 Mahler 시스템에 대한 대수적 독립성 연구를 개별 시스템으로 단순화하는 것.
• 일변수 함수 $\mathfrak{f}(z) = \sum z^{2^n}$ 및 Hecke–Mahler 급수 $\mathfrak{f}_\omega(z) = \sum \lfloor n\omega \rfloor z^n$를 적절한 특수화를 통해 다변수 Mahler 시스템으로 표현하는 것.
• 정규 특이 Mahler 시스템의 형식적 체계를 활용하여, 오차 자동기 이론 및 기수-$b$ 표현 문제를 $\overline{\mathbb{Q}}$ 위에서의 대수적 독립성 문제로 변환하는 것.
• 마트료시카 도미노 원리(마트료시카 도미노 원리)를 활용하여 다변수 시스템 내의 중첩된 대수적 관계를 순환적으로 분석하는 것.
• 초월수 이론 및 S-단위 방정식의 결과를 적용하여 값들의 대수적 독립성을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다변수 Mahler 함수의 값들이 대수적 점에서 $\overline{\mathbb{Q}}$ 위에서 언제 대수적으로 독립적인가?
• RQ2 오ート마타 이론에서의 기저 변화 문제는 어떻게 Mahler 함수 값의 대수적 독립성 문제로 축소될 수 있는가?
• RQ3 다변수 Mahler 방법을 활용하여 Hecke–Mahler 급수의 값들이 대수적으로 독립임을 보일 수 있는가?
• RQ4 다변수 Mahler 함수의 특수화에 대한 대수적 독립성은 그 기저 시스템의 구조로부터 얼마나 깊이 유추될 수 있는가?
• RQ5 변환 행렬의 스펙트럴 반경의 곱으로 의존성이 있을 경우, Mahler 함수 값의 대수적 독립성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 다변수 Mahler 시스템의 변환 행렬 스펙트럴 반경이 곱으로 의존할 경우, 충분히 독립적인 대수적 점에서 해당 Mahler 함수의 값들은 $\overline{\mathbb{Q}}$ 위에서 대수적으로 독립적이다.
• 함수 $\mathfrak{f}(z) = \sum z^{2^n}$에 대해 $\mathfrak{f}(1/2)$와 $\mathfrak{f}(1/3)$의 대수적 독립성은 러핑 정리를 통해 $\mathfrak{f}(z)$의 초월성에 기반하여 유도된다.
• 적절한 조건 하에서 Hecke–Mahler 급수 $\mathfrak{f}_\omega(z)$의 대수적 점에서의 값들은 대수적으로 독립적이다. 이는 이들이 이변수 Mahler 함수의 특수화로 표현될 수 있음을 통해 입증된다.
• 다변수 Mahler 시스템의 형식적 체계는 일변수 함수의 서로 다른 점에서의 값들 사이의 대수적 관계를 다룰 수 있게 하여, 고전적 Mahler 이론의 한계를 극복한다.
• 마트료시카 도미노 원리(마트료시카 도미노 원리)를 통해 다변수 시스템 내의 중첩된 대수적 관계를 순환적으로 분석할 수 있으며, 이는 복잡한 의존성의 연구를 가능하게 한다.
• 이 논문은 오차 자동기 기반의 수 체계 표현과 대수적 독립성 사이의 다리를 놓으며, 기수-$b$ 정규성 및 자동성 문제를 Mahler의 방법을 통해 접근할 수 있음을 보여준다.