[논문 리뷰] Majorana chain and Ising model -- (non-invertible) translations, anomalies, and emanant symmetries

Nathan Seiberg, Shu-Heng Shao|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 05.

Molecular spectroscopy and chirality인용 수 15

한 줄 요약

논문은 격자 Majorana 체인과 그 연속체 Ising/ Majorana CFT 한계를 분석하여 격자 기원emanant 대칭, 이상현상, 그리고 Ising/Kramers-Wannier 이중성을 유도하는 비가역적 격자 번역을 밝혀낸다.

ABSTRACT

We study the symmetries of closed Majorana chains in 1+1d, including the translation, fermion parity, spatial parity, and time-reversal symmetries. The algebra of the symmetry operators is realized projectively on the Hilbert space, signaling anomalies on the lattice, and constraining the long-distance behavior. In the special case of the free Hamiltonian (and small deformations thereof), the continuum limit is the 1+1d free Majorana CFT. Its continuum chiral fermion parity $(-1)^{F_ ext{L}}$ emanates from the lattice translation symmetry. We find a lattice precursor of its mod 8 't Hooft anomaly. Using a Jordan-Wigner transformation, we sum over the spin structures of the lattice model (a procedure known as the GSO projection), while carefully tracking the global symmetries. In the resulting bosonic model of Ising spins, the Majorana translation operator leads to a non-invertible lattice translation symmetry at the critical point. The non-invertible Kramers-Wannier duality operator of the continuum Ising CFT emanates from this non-invertible lattice translation of the transverse-field Ising model.

연구 동기 및 목표

• 페르미안 격자 시스템과 그 연속 극한에서의 대칭 및 ’t Hooft 이상현상 연구의 필요성 제시.
• 배경 게이지 필드를 통한 격자 Majorana 체인 분석과 연속 Majorana CFT 간의 다리 역할 및 이상현상 매칭.
• 격자 번역에서 유래하는 emanant 내부 대칭을 식별하고 그 이상현상을 분류.
• 격자 패리티, 번역 및 페르미 페리티를 NSNS/RR/NSR/RNS 스핀 구조와 연관지음.
• 스핀 구조를 합산하여 Ising과 같은 보손 이론으로 얻어질 때 비가역적 격자 대칭이 나타남을 시연

제안 방법

• 유한 주기 격자 위에 실제 페르미온이 각 사이트에 존재하는 Majorana 체인을 정의하고 격자 대칭 T와 G(페르미 페리티)를 정의한다.
• 실제 격자 대칭 연산자 G, T, 및 T_G와 그들이 짝수/홀수 L 및 결함에서의 작용을 계산한다.
• 국소성과 일치하는 대칭 연산자들의 위상 재정의를 가정하여 프로젝트 표현 및 이상현상을 진단한다.
• 격자 번역을 T_lattice = (-1)^{F_L} e^{2π i P/L}로서 연속 선형 페르미온 패리티와 연결하고Emergant 대칭을 분석한다.
• Majorana 체인을 Ising 모델과 연결하기 위한 Jordan-Wigner 변환을 수행하고 결함(Kramers-Wannier/DIs) 및 비가역적 격자 번역을 포함한다.
• 연속 Majorana CFT의 NSNS/RR/NSR/RNS 해밀토니안 공간과 스핀 구조 및 그 이상현상 구조를 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 격자 기원 대칭은 무엇이며 Majorana 체인에서 ’t Hooft 이상현상을 어떻게 구현하는가?
• RQ2 격자 번역이 연속 Majorana CFT에서 emanant 내부 대칭을 어떻게 유도하고 그 이상현상 분류는 무엇인가?
• RQ3 스핀 구조(GSO 투영)를 합산하는 것이 Majorana 체인을 Ising 모델과 어떻게 연결하고 비가역적 격자 번역을 어떻게 유발하는가?
• RQ4 다양한 해밀토니안 공간(NSNS, RR, NSR, RNS)에서 격자 번역 연산자와 연속 선형 페르미온 패리티 사이의 정밀한 관계는 무엇인가?
• RQ5 이상의 이상현상이 격자-Ising 대응에서 비가역적 대칭 및 듀얼성(Kramers-Wannier)에 어떤 시사점을 주는가?

주요 결과

• Majorana 체인에서의 격자 번역은 연속 극한에서 emanant한 선형 페르미온 페리티를 유도하며, T_lattice는 (-1)^{F_L} 및 운동량 P와 관련된다.
• 격자 대칭 대수는 프로젝트 표현을 구현할 수 있어 장거리 이론에서도 지속되는 ’t Hooft 이상현상을 나타낸다.
• 스핀 구조의 합산(GSO 투영)은 Majorana 시스템으로부터 보손 Ising 모델을 유도하고 Ising 체인에서 비가역적 격자 번역 대칭을 도입한다.
• GSO 투영 후 격자에서 비가역적 대칭 연산자 D가 등장하여 Ising 번역과 혼합되며 연속에서 Kramers-Wannier 듀얼성을 반영한다.
• RR 해밀토피 공간은 Z2 × Z2^f 대칭의 D4형 프로젝트 대칭 확장 및 모드 8 이상현상 구조를 나타내며 이는 알려진 spin-코보디브 이론 분류와 일치한다.
• 해석은 격자에서의 이상현상과 emanant 대칭이 가능한 IR 거동을 어떻게 제약하는지 그리고 1+1d Majorana 페르미온의 mod 8 분류와 어떻게 연결되는지를 명확히 한다.