[논문 리뷰] Majorana-Oppenheimer approach to Maxwell electrodynamics in Riemannian space-time

A. A. Bogush, В. М. Редьков외 2명|ArXiv.org|2009. 05. 03.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 78인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리만 기하학적 시공간에서 마조라나-오펜하이머 복소 3벡터 접근법을 사용하여 맥스웰 전기역학의 행렬 형식을 개발하며, 이론을 SO(3,C) 복소 회전군 내에 통합한다. 진공 및 선형 매질에 대해 4×4 행렬 αᵇ 및 βᵇ를 사용하여 통합된 행렬 형태를 유도하고, 디рак 행렬과의 관계를 설정하며, 복소 직교 회전을 통한 미ン코프스키 구성 관계의 대수적 기술을 통해 곡률이 있는 시공간에서의 고전 전기역학에 대한 공변적이고 스핀어르기 유사 기술을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The Riemann -- Silberstein -- Majorana -- Oppengeimer approach to the Maxwell electrodynamics in presence of electrical sources and arbitrary media is investigated within the matrix formalism. The symmetry of the matrix Maxwell equation under transformations of the complex rotation group SO(3.C) is demonstrated explicitly. In vacuum case, the matrix form includes four real $4 imes 4$ matrices $α^{b}$. In presence of media matrix form requires two sets of $4 imes 4$ matrices, $α^{b}$ and $β^{b}$ -- simple and symmetrical realization of which is given. Relation of $α^{b}$ and $β^{b}$ to the Dirac matrices in spinor basis is found. Minkowski constitutive relations in case of any linear media are given in a short algebraic form based on the use of complex 3-vector fields and complex orthogonal rotations from SO(3.C) group. The matrix complex formulation in the Esposito's form, based on the use of two electromagnetic 4-vector, is studied and discussed. Extension of the 3-vector complex matrix formalism to arbitrary Riemannian space-time in accordance with tetrad method by Tetrode-Weyl-Fock-Ivanenko is performed.

연구 동기 및 목표

• 마조라나-오펜하이머 복소 3벡터 전기역학 형식을 임의의 리만 기하학적 시공간 기하학으로 확장하기.
• 진공 및 선형 매질에 대해 4×4 행렬 αᵇ 및 βᵇ를 사용하는 행렬 체계를 구축하여 명백한 공변성 확보하기.
• 행렬 맥스웰 방정식이 SO(3,C) 복소 회전에 대해 불변임을 보여주며, 이 형식이 로렌츠 군의 구조와 어떻게 연결되는지 밝히기.
• 복소 3벡터 장 M 및 N을 사용하고 SO(3,C) 변환을 적용하여 선형 매질의 미ン코프스키 구성 관계를 압축된 대수적 형태로 유도하기.
• αᵇ 및 βᵇ 행렬을 스핀어르기 기저에서 디рак 행렬과 연결하여 상대론적 양자장 이론과의 깊은 연관성 확보하기.

제안 방법

• 전기장과 자기장을 하나의 복소 엔티티로 통합하기 위해 복소 3벡터 ψᵏ = Eᵏ + i cBᵏ 를 도입한다.
• 테트라드 방법(Tetrode-Weyl-Fock-Ivanenko)을 사용하여 형식을 임의의 리만 기하학적 시공간 기하학으로 일반화한다.
• αᵇ는 진공, βᵇ는 매질에 대해 사용하는 4×4 행렬을 사용하여 맥스웰 방정식의 행렬 형식을 구성하며, SO(3,C) 변환에 대해 대칭성을 확보한다.
• D, E, H, B의 조합으로 정의된 복소 3벡터 장 M 및 N를 사용하여 선형 매질의 구성 관계를 압축된 형태로 표현한다.
• 테트라드 기저에서 부분 도함수를 테트라드 접속 계수를 통해 공변 도함수로 대체하여 행렬 방정식을 유도한다.
• 행렬 형식으로부터 표준 텐서형 맥스웰 방정식을 재구성하며, 순환 항등식 ∇ᵅFᵝᵞ + ∇ᵝFᵞᵅ + ∇ᵞFᵅᵝ = 0 및 ∇ᵦHᵦᵅ = jᵅ 를 통한 등가성 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마조라나-오펜하이머 복소 3벡터 전기역학 형식을 임의의 리만 기하학적 시공간 기하학으로 일반화하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 매질에 대해 4×4 행렬 αᵇ 및 βᵇ로 표현된 맥스웰 방정식의 명시적 행렬 표현은 무엇이며, 이들은 디рак 행렬과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 행렬 형식이 복소 회전군 SO(3,C)에 대해 어떻게 불변성을 보이며, 이는 로렌츠 군과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 선형 매질의 미ン코프스키 구성 관계는 복소 3벡터 장과 SO(3,C) 변환을 사용하여 어떻게 압축된 대수적 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ5 테트라드 표현에서 유도된 행렬 방정식은 표준 공변 텐서 맥스웰 방정식으로 어떻게 축소되는가?

주요 결과

• 진공에서 맥스웰 방정식의 행렬 형식은 로렌츠 군과 동형인 복소 회전군 SO(3,C)에 대해 불변이다.
• αᵇ 및 βᵇ 행렬은 명시적으로 4×4 실수 행렬로 구성되며, αᵇ는 스핀어르기 기저에서 디рак 대수의 표현을 이룬다.
• 선형 매질의 경우, 구성 관계는 복소 3벡터 장 M 및 N를 통해 압축적으로 표현되며, M = (D + E)/2 + i(B + H)/2 및 N = (D − E)/2 + i(B − H)/2 로 정의된다.
• 테트라드 기저에서의 행렬 방정식은 표준 일반 공변 맥스웰 방정식을 재현한다: ∇ᵅFᵝᵞ + ∇ᵝFᵞᵅ + ∇ᵞFᵅᵝ = 0 및 ∇ᵦHᵦᵅ = jᵅ.
• 행렬 방정식의 실수부 및 허수부는 가우스 법칙과 패러데이 법칙을 포함한 맥스웰 방정식의 전체 성분 형태를 제공한다.
• 이 형식은 진공과 매질의 경우를 하나의 행렬 구조로 통합하여 성공적으로 통합하였으며, 전류 소스 J는 J = (1/ε₀ε) × (ρ, i j)ᵀ 로 표현된다.