[논문 리뷰] Majoration du nombre de zéros d'une fonction méromorphe en dehors d'une droite verticale et applications

Oswaldo Velásquez Castañón|ArXiv.org|2007. 12. 08.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ h(s) $의 모든 유한한 제수를 제외한 모든 제수가 $ \Re s < a $ 에 위치할 경우, 형태 $ f(s) = h(s) \pm h(2a - s) $를 가진 함수의 모든 유한한 제수를 제외한 모든 제수가 임계선 $ \Re s = a $ 위에 놓이는 충분조건을 확립한다. 이 결과는 허미트-비엘러 정리의 일반화이며, 임계선 외부의 예외적 제수의 수에 대한 효과적인 상계를 제공하며, 이는 이동된 리만 제타함수와 $ L $-함수에 응용된다.

ABSTRACT

We study the distribution of the zeros of functions of the form $f(s)=h(s) \pm h(2a-s)$, where $h(s)$ is a meromorphic function, real on the real line, $a$ a real number. One of our results establishes sufficient conditions under which all but finitely many of the zeros of $f(s)$ lie on the line $\Re s = a$, called the {\it critical line} for the function $f(s)$, and be simple, given that all but finitely many of the zeros of $h(s)$ lie on the half-plane $\Re s &lt; a$. This results can be regarded as a generalization of the necessary condition of stability for the function $h(s)$, in the Hermite-Biehler theorem. We apply this results to the study of translations of the Riemann Zeta Function and $L$ functions, and integrals of Eisenstein Series, among others.

연구 동기 및 목표

• 함수 $ f(s) = h(s) \\pm h(2a - s) $의 제수 분포를 연구하는 것, 여기서 $ h(s) $ 는 유리형이며 실수축에서 실수값을 가진다.
• 기존의 허미트-비엘러 안정성 조건( $ \Re s \geq a $ 에서 제수가 없음)을 완화하여 유한한 수의 이러한 제수를 허용하는 것.
• $ f(s) $ 가 임계선 $ \Re s = a $ 외부에 있는 제수의 수에 대한 효과적인 상계를 도출하는 것.
• 이동된 리만 제타함수, $ L $-함수, 아이젠스타인 급수의 적분에 결과를 적용하는 것.
• 비임계선 제수가 단순임을 보장할 수 있는 조건을 설정하고, 수직 스트립 내에서 그 수를 정량화하는 것.

제안 방법

• 제수를 $ 0 < \Im s < T $ 의 스트립에서 세기 위해 인수 원리와 경로 적분을 사용하는 것.
• $ N(T) $ (스트립 내 제수의 수) 를 $ N_0(T) $ (임계선 $ \Re s = a $ 위의 제수의 수) 와 비교하여 비임계선 제수의 수를 추정하는 것.
• 함수방정식 $ f(2a - s) = \pm f(s) $ 를 적용하여 대칭성을 이용하고 $ \Re s > a $ 에서의 제수를 $ \Re s < a $ 에서의 제수와 연결하는 것.
• $ f(s) \neq 0 $ 이다 $ \Re s \geq \sigma_0 > a $ 에서 성립함을 가정하여 모든 제수를 $ \Re s = a $ 근처의 수직 스트립 내에 고정하는 것.
• $ h(s) $ 의 알려진 제수 없는 영역과 $ f(s) $ 의 구조를 활용하여 예외적 제수 수에 대한 효과적인 상계를 유도하는 것.
• 전체 함수와 유리형 함수 이론을 활용하며, 로그 도함수와 제닝의 공식을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 $ f(s) = h(s) \\pm h(2a - s) $ 가 임계선 $ \Re s = a $ 위에 모든 유한한 제수를 제외한 모든 제수를 가지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 기존의 허미트-비엘러 조건인 제수 없는 반평면 $ \Re s \geq a $ 는 어떻게 완화될 수 있으며, 여전히 대부분의 제수가 임계선 위에 놓이게 할 수 있는가?
• RQ3 $ f(s) $ 가 임계선 $ \Re s = a $ 외부에 있는 제수의 수에 대한 효과적인 상계는 무엇인가?
• RQ4 동일한 조건 하에서 $ f(s) $ 의 비임계선 제수가 단순함을 보장할 수 있는가?
• RQ5 이 결과들은 이동된 리만 제타함수와 기타 $ L $-함수 또는 아이젠스타인 급수의 적분에 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 유한한 제수를 제외한 $ f(s) = h(s) \\pm h(2a - s) $ 의 제수가 $ \Re s < a $ 에 위치한 $ h(s) $ 의 모든 유한한 제수를 제외한 모든 제수가 임계선 $ \Re s = a $ 위에 놓여지며, $ f(s) \neq 0 $ 이다 $ \Re s \geq \sigma_0 > a $ 에서 성립할 경우에 성립한다.
• $ f(s) $ 가 임계선 외부에 있는 제수의 수는 $ h(s) $ 가 $ \Re s \geq a $ 에서 가진 제수의 수에 대해 균일하게 유계이며, 경로 적분을 통해 유도된 효과적인 상계를 가진다.
• 제시된 조건 하에서 $ f(s) $ 의 임계선 위 제수는 단순하다. 이는 $ h(s) $ 가 약간의 정규성 및 성장 조건을 만족할 경우에 성립한다.
• 이 방법은 $ N(T) - N_0(T) $, 즉 $ 0 < \Im s < T $ 내의 비임계선 제수의 수에 대한 명시적 추정을 $ h(s) $ 의 성장 및 제수 분포에 따라 도출한다.
• 결과는 특정 이동된 제타함수와 아이젠스타인 급수의 적분이 모두 유한한 제수를 제외한 모든 제수를 임계선 위에 가짐을 보여주기 위해 적용된다.
• 이 틀은 $ h(s) $ 가 $ \Re s \geq a $ 에서 유한한 수의 제수를 가질 수 있도록 허용하면서도 $ f(s) $ 의 제수가 여전히 임계선에 정렬되도록 하여, 허미트-비엘러 정리를 일반화한다.