[논문 리뷰] Making the PT symmetry unbreakable

Vitaly Lutsky, Eitam Luz외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 24.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 68인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 및 비선형 시스템에서 PT 대칭성을 안정화하기 위한 메커니즘을 제안하며, 임의로 큰 증폭-손실 계수에서도 깨지지 않는 PT 대칭성을 가능하게 한다. 하위파장 파손을 통해(맥스웰 방정식을 통해) 및 반경 방향으로 증가하는 비선형성을 갖는 비선형 자가분산 효과를 활용하여, 1차원 및 2차원 솔리톤 해에 대해 완전한 안정성을 달성하였으며, 정확한 해석적 해와 수치적 확인을 통해 고정된 2차원 기하구조에서 무한한 증폭-손실 강도까지 안정성이 입증되었다.

ABSTRACT

It is well known that typical PT-symmetric systems suffer symmetry breaking when the strength of the gain-loss terms exceeds a certain critical value. We present a summary of recently published and newly produced results which demonstrate various possibilities of extending the PT symmetry to arbitrarily large values of the gain-loss coefficient. First, we recapitulate the analysis which demonstrates a possibility of the restoration of the PT symmetry and, moreover, complete avoidance of the breaking in a photonic waveguide of a subwavelength width. The analysis is based on the Maxwell's equations, instead of the usual paraxial approximation. Next, we review a recently proposed possibility to construct stable one-dimensional (1D) PT-symmetric solitons in a paraxial model with arbitrarily large values of the gain-loss coefficient, provided that the self-trapping of the solitons is induced by self-defocusing cubic nonlinearity, whose local strength grows sufficiently fast from the center to periphery. The model admits a particular analytical solution for the fundamental soliton, and provides full stability for families of fundamental and dipole solitons. Finally, we report new results for unbreakable PT-symmetric solitons in 2D extensions of the 1D model: one with a quasi-1D modulation profile of the local gain-loss coefficient, and another with the fully-2D modulation. These settings admit particular analytical solutions for 2D solitons, while generic soliton families are found in a numerical form. The quasi-1D modulation profile gives rise to a stable family of single-peak 2D solitons. The soliton stability in the full 2D model is possible if the local gain-loss term is subject to spatial confinement.

연구 동기 및 목표

• PT 대칭성 시스템의 기본적 한계를 극복하기 위해, 증폭-손실 임계값에 도달함에 따라 대칭성이 붕괴되는 현상에 대비한다.
• 깊이로 하위파장 파손 구조를 활용하여 선형 시스템에서 임의로 큰 증폭-손실 계수에서도 PT 대칭성이 무한히 안정화될 수 있음을 보여준다.
• 자기분산 비선형성에 의한 비선형 자가포획을 통해 1차원 및 2차원 PT 대칭 솔리톤을 구축하고, 임의로 큰 증폭-손실 계수를 갖는 안정한 솔리톤을 달성한다.
• 선형 모델을 넘어서 비선형, 비헤르미트 시스템으로서의 PT 대칭 개념을 확장하며, 이 대칭성이 본질적으로 비선형인 경우를 다룬다.
• 공간적 봉쇄와 변조 프로파일이 2차원 PT 대칭 시스템에서 안정적인 다점 솔리톤 해를 가능하게 하는 역할을 탐색한다.

제안 방법

• 자기분산 영역에서의 정확한 분석을 가능하게 하기 위해, 파라엑셜 근사를 사용하지 않고 전체 맥스웰 방정식을 사용하여 하위파장 파손 채널을 모델링한다.
• 중심에서 외곽으로 갈수록 강도가 증가하는 반경 방향으로 증가하는 비선형성을 갖는 1차원 비선형 슈뢰딩거 모델을 개발하며, 임계값 없이 솔리톤 자가포획을 가능하게 한다.
• 1차원 모델에서 기본 솔리톤에 대한 정확한 해석적 해를 유도하여 기본 솔리톤 및 듀얼포인트 솔리톤 가족의 완전한 안정성을 보장한다.
• 1차원 모델을 두 가지 다른 증폭-손실 변조 프로파일을 통해 2차원으로 확장한다: 준1차원(한 축을 따라) 및 완전 2차원(양축에서 공간적으로 변하는 방식).
• 2차원 모델에서 솔리톤 가족의 수치적 시뮬레이션을 수행하며, 안정성은 고유모드 분석 및 전력 변화 추적을 통해 평가한다.
• 완전한 2차원 모델에서 증폭-손실 항목에 공간적 봉쇄를 적용하여 불안정성을 방지하고 다점 솔리톤의 안정한 존재를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의로 큰 증폭-손실 계수에서 선형 시스템에서 PT 대칭성이 완전히 안정화될 수 있는가? 만약 가능하다면 어떤 물리적 조건에서 가능한가?
• RQ2 비선형 시스템에서 임의로 큰 증폭-손실 계수를 갖는 안정한 1차원 PT 대칭 솔리톤을 구축할 수 있는가? 어떤 비선형성 프로파일이 이를 가능하게 하는가?
• RQ3 증폭-손실 계수의 공간적 변조 프로파일(준1차원 대비 완전 2차원)이 2차원 PT 대칭 솔리톤의 안정성과 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 4점 구조와 같은 다점 솔리톤이 2차원 PT 대칭 시스템에서 안정화될 수 있는가? 어떤 조건이 필요한가?
• RQ5 시스템이 비선형화 가능하지 않을 경우에도 비선형성이 PT 대칭성을 안정화하는 데 효과적으로 기여하는가? 이는 PT 대칭 개념을 어떻게 재정의하는가?

주요 결과

• 맥스웰 방정식으로 모델링된 깊이로 하위파장 파손 채널에서는 PT 대칭성이 완전히 깨지지 않으며, 대칭성 붕괴 전이가 관측되지 않는다.
• 자기분산 비선형성이 반경 방향으로 증가하는 1차원 모델에서 기본 솔리톤에 대한 정확한 해석적 해를 도출하였으며, 기본 솔리톤 및 듀얼포인트 솔리톤 가족이 모든 증폭-손실 계수에서 완전히 안정하다.
• 2차원 준1차원 모델에서는 임의로 큰 증폭-손실 계수에서도 단일점 솔리톤 가족이 안정하게 존재하지만, 이중점 솔리톤은 불안정하다.
• 완전한 2차원 모델에서는 증폭-손실 항목이 공간적으로 봉쇄되어야만 솔리톤 안정성이 확보되며, Γ = 0.5에서 수치적으로 안정한 4점 솔리톤이 관측되었다.
• 완전한 2차원 모델의 안정성 차트는 증폭-손실 계수에 상한선이 없음을 보여주며, 이는 이 설정에서 깨지지 않는 PT 대칭성이 가능함을 시사한다.
• 식 (13)에서 σ = 1이고 식 (15)에서 Γ ≥ 0.2일 경우, |x|,|y| ≤ 9 크기의 유한 영역 내에서 안정한 솔리톤이 존재함을 확인하여, 안정성이 유한한 시스템에서도 달성 가능함을 입증한다.