[논문 리뷰] Manifolds with positive orthogonal Ricci curvature

Lei Ni, Qingsong Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 26.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양의 수직 리치 곡률($Ric^\perp > 0$)을 가진 컴act 켈러 다양체를 조사하며, $b_2 = 1$인 켈러 C-공간과 컴팩트 허미션 대칭 공간(\mathbb{P}^1 인자 없음)이 그러한 계량을 갖는다는 것을 증명한다. 3차원과 4차원에서 분류 결과를 도출하여, 3차원에서는 $Ric^\perp > 0$가 유리 연결성을 함의하고, 4차원에서는 다양체가 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$이거나 특정한 피브리이션 구조를 갖는다.

ABSTRACT

In this paper we study the class of compact Kähler manifolds with positive orthogonal Ricci curvature: $Ric^\perp>0$. First we illustrate examples of Kähler manifolds with $Ric^\perp>0$ on Kähler C-spaces, and construct ones on certain projectivized vector bundles. These examples show the abundance of Kähler manifolds which admit metrics of $Ric^\perp>0$. Secondly we prove some (algebraic) geometric consequences of the condition $Ric^\perp>0$ to illustrate that the condition is also quite restrictive. Finally this last point is made evident with a classification result in dimension three and a partial classification in dimension four.

연구 동기 및 목표

• Kähler 계량을 갖는 컴팩트 켈러 다양체의 집합 $\mathcal{M}_n^\perp$ 에서 $Ric^\perp > 0$ 를 만족하는 다양체를 이해하는 것.
• 특히 $b_2 = 1$ 인 켈러 C-공간과 프로젝티브화된 벡터 병렬체 위에서 이러한 다양체의 새로운 예를 구성하는 것.
• Ric^\perp > 0$ 가 유도하는 기하학적 및 위상수학적 제약 조건을 규명하여, 이 조건이 동시에 풍부하고도 제약이 있음을 보이는 것.
• 복소수 차원 3과 4에서 $Ric^\perp > 0$ 를 만족하는 컴팩트 켈러 다양체를 분류하는 것.
• Ric^\perp > 0$ 과 $h^{p,0}$, $\pi_1$, 그리고 피카르 수와 같은 대수기하학적 불변량 간의 관계를 탐구하는 것.

제안 방법

• Itoh와 Chau-Tam의 곡률 계산을 활용하여, $b_2 = 1$ 인 켈러 C-공간에서 켈러-아인슈타인 계량이 $Ric^\perp > 0$ 를 만족함을 보임.
• 기저 계량의 풀백과 타우토로지컬 라인 번들의 첫 번째 체르누 곡률을 조합하여 $\mathbb{P}(E^*)$ 위에 켈러 계량을 구성함.
• 보흐너 공식과 대수적 곡률 연산자 분해를 적용하여 $Ric^\perp$ 를 $R_{Ric} - R$ 의 허미션 섹션 곡률과 연결함.
• 모리 코ーン의 극단적 반사선의 구조와 팔로 페르미오의 4차원 프로젝티브 다양체 분류를 활용하여 피브리이션과 피브리이션 유형을 분석함.
• Ric^\perp \equiv 0$ 이면 $n \geq 3$ 에서 평탄함, $n=2$ 에서는 국소적으로 등각 평탄함(반대 곡률을 가진 두 곡선의 곱)임을 이용하여 특정 위상수학적 구조를 배제함.
• 알제브라적 기하학의 결과, 특히 $\mathbb{P}^n$ 위에서 균일하게 자명한 벡터 병렬체는 자명하다는 정리 등을 활용하여 4차원에서의 분류를 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 켈러 C-공간이 $Ric^\perp > 0$ 를 만족하는 켈러 계량을 갖는가?
• RQ2 콤팩트 켈러 다양체 위의 프로젝티브화된 벡터 병렬체에서 $Ric^\perp > 0$ 를 달성할 수 있는가?
• RQ3 $Ric^\perp > 0$ 가 컴팩트 켈러 다양체에 가하는 대수적 및 위상수학적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ4 복소수 차원 3에서 $Ric^\perp > 0$ 를 만족하는 컴팩트 켈러 다양체의 분류는 무엇인가?
• RQ5 $\rho(M) = 1$ 인 컴팩트 켈러 4차원 다양체에서 $Ric^\perp > 0$ 를 만족하는 경우 가능한 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 2차원 이상인 $b_2 = 1$ 인 켈러 C-공간은 [15]의 곡률 계산을 통해 $Ric^\perp > 0$ 를 만족하는 켈러-아인슈타인 계량을 갖는다.
• $\mathbb{P}^1$ 인자를 포함하지 않는 컴팩트 허미션 대칭 공간은 $Ric^\perp > 0$ 를 만족하며, 이는 예외적인 케이스로까지 확장된다.
• 비음성 리치 곡률을 가진 $\mathcal{M}_n^\perp$ 에 속하는 두 다양체의 곱은 $\mathcal{M}_{n+m}^\perp$ 에 속하므로, 곱에 대해 닫혀 있음을 보여준다.
• 3차원에서는 $Ric^\perp > 0$ 를 만족하는 모든 컴팩트 켈러 다양체는 유리 연결적이며, $\pi_1$ 가 유한하고, $p = 1,2$ 에 대해 $h^{p,0} = 0$ 이다.
• 4차원에서는 $\rho(M) = 1$ 이고 $Ric^\perp > 0$ 를 만족하는 컴팩트 켈러 다양체는 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ 이거나, 델 페초 피브리이션을 갖는다.
• Ric^\perp \equiv 0$ 인 다양체는 $n \geq 3$ 에서 평탄하고, $n = 2$ 에서는 국소적으로 등각 평탄함(반대 곡률을 가진 두 곡선의 곱)이다.