[논문 리뷰] Manin Triples for Lie Bialgebroids

Zhangju Liu, Alan Weinstein외 1명|ArXiv.org|1995. 08. 28.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 리 대수에서 리 가닥으로의 드린펠트 듀얼 구성의 일반화를 통해 리 이중가닥에 대한 마니ン 삼중체 개념을 도입한다. 이는 코르앙트 가닥에서의 딜라 구조와 리 이중가닥의 구조 사이의 일대일 대응을 확립하며, 리 가닥의 맥락으로 마니ン 삼중체 이론을 확장하고, 바이해밀토니안 구조 및 파오송 군oids 일반화를 위한 새로운 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

In his study of Dirac structures, a notion which includes both Poisson structures and closed 2-forms, T. Courant introduced a bracket on the direct sum of vector fields and 1-forms. This bracket does not satisfy the Jacobi identity except on certain subspaces. In this paper we systematize the properties of this bracket in the definition of a Courant algebroid. This structure on a vector bundle $E ightarrow M$, consists of an antisymmetric bracket on the sections of $E$ whose ``Jacobi anomaly'' has an explicit expression in terms of a bundle map $E ightarrow TM$ and a field of symmetric bilinear forms on $E$. When $M$ is a point, the definition reduces to that of a Lie algebra carrying an invariant nondegenerate symmetric bilinear form. For any Lie bialgebroid $(A,A^{*})$ over $M$ (a notion defined by Mackenzie and Xu), there is a natural Courant algebroid structure on $A\oplus A^{*}$ which is the Drinfel'd double of a Lie bialgebra when $M$ is a point. Conversely, if $A$ and $A^*$ are complementary isotropic subbundles of a Courant algebroid $E$, closed under the bracket (such a bundle, with dimension half that of $E$, is called a Dirac structure), there is a natural Lie bialgebroid structure on $(A,A^{*})$ whose double is isomorphic to $E$. The theory of Manin triples is thereby extended from Lie algebras to Lie algebroids. Our work gives a new approach to bihamiltonian structures and a new way of combining two Poisson structures to obtain a third one. We also take some tentative steps toward generalizing Drinfel'd's theory of Poisson homogeneous spaces from groups to groupoids.

연구 동기 및 목표

• 리 대수에서의 마니ン 삼중체 이론을 리 가닥으로 일반화하기.
• 리 이중가닥과 코르앙트 가닥의 딜라 구조 사이의 대응을 설정하기.
• 바이해밀토니안 구조와 파오송 군oids 작용을 이해하기 위한 기하적 프레임워크를 제공하기.
• 드린펠트의 파오송 동차 공간 이론을 군에서 군oids로 확장하기.
• 직합 리 가닥과 그 쌍대의 브라켓 구조를 형식화하여 코르앙트의 브라켓을 일반화하기.

제안 방법

• 코르앙트 가닥을 다양체 M 위의 벡터(bundle) E로 정의하며, 단면에 대한 브라켓, E → TM의 범위 매핑, 대칭 이항형을 갖춘다.
• 코르앙트 가닥의 라그랑주, 등방, 그리고 비틀림 없는 부분다발로 딜라 구조의 개념을 도입한다.
• 리 이중가닥 (A, A*)의 드린펠트 듀얼을 A ⊕ A*로 구성하며, 자연스러운 코르앙트 가닥의 구조를 갖춘다.
• A ⊕ A* 위의 브라켓이 앵커와 쌍대성에 의해 결정되는 수정 항을 제외하고 자코비 항등식을 만족함을 보인다.
• 코르앙트 가닥 E의 임의의 딜라 구조는 그 등방 보완 부분다발 위에 리 이중가닥의 구조를 유도함을 증명한다.
• 브라켓과 쌍대성의 호환성을 이용하여 고전적 마니ン 삼중체 구성의 리 가닥 설정으로의 일반화를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클래식한 리 대수에 대한 마니ン 삼중체 이론은 어떻게 리 가닥으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 리 이중가닥 (A, A*)에 대응하는 A ⊕ A* 위의 구조는 무엇인가?
• RQ3 코르앙트 가닥의 딜라 구조가 리 이중가닥의 구조를 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 코르앙트 브라켓은 리 이중가닥 대수의 드린펠트 듀얼 위의 브라켓을 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 이 프레임워크를 사용하여 파오송 동차 공간 이론을 군에서 군oids로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 리 이중가닥 (A, A*)의 직합 A ⊕ A*는 리 이중가닥 대수의 드린펠트 듀얼을 일반화하는 자연스러운 코르앙트 가닥의 구조를 지닌다.
• 코르앙트 가닥 E의 딜라 구조는 E의 등방적이며 보완적인 부분다발 쌍 위의 리 이중가닥의 구조와 동치이다.
• A ⊕ A* 위의 브라켓은 앵커 매핑과 대칭 쌍대성에 의해 표현되는 수정 항을 제외하고 자코비 항등식을 만족한다.
• M이 한 점일 경우, 이 구성은 비퇴화적이며 불변인 대칭 이항형을 갖는 고전적 리 대수의 마니ン 삼중체로 축소된다.
• 이 프레임워크는 코르앙트 가닥을 통해 두 파오송 구조를 조합함으로써 바이해밀토니안 구조를 생성하는 새로운 방법을 제공한다.
• 이 이론은 드린펠트의 프레임워크를 확장하여 파오송 동차 공간 이론을 리 군oids로 일반화할 수 있다.