[논문 리뷰] Many-body density and coherence of trapped cold bosons

Camille Lévêque, Fritz Diorico외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 18.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 MCTDH-X 방법을 사용하여 트랩에 갇힌 초냉각 보손의 고차수 다체 밀도와 글로버 상관 함수를 계산하기 위한 일반적인 수치적 방법을 제시한다. 보손의 소멸 장 연산자를 다체 파동함수에 반복적으로 적용함으로써, 해석적 해가 없더라도 감소된 밀도 행렬과 상관 함수를 정확하게 계산할 수 있다. 주요 결과는 상호작용이 약한 상태에서 강한 상태로의 전이 구간에서, 고차수 상관관계가 한결 더 약한 상호작용 강도에서도 톤스-지라르도(Tonks-Girardeau, TG) 극한의 행동을 보이게 된다는 것이다.

ABSTRACT

Many-body densities and correlation functions are of paramount importance for understanding quantum many-body physics. Here, we present a method to compute them; our approach is general and based on the action of bosonic or fermionic annihilation field operators on the many-body wavefunction. We analyze $N = 6$ quasi-one-dimensional harmonically-trapped bosons with weak to strong contact interaction strength up to the Tonks-Girardeau limit with infinite repulsion using the MultiConfigurational Time-Dependent Hartree method for indistinguishable particles (MCTDH-X). We compare our MCTDH-X solutions to the analytical ones in the infinite repulsion regime as well as to the so-called correlated pair wavefunction approach and find a good agreement. Since numerical approximations are not bound to the cases where analytical solutions are known, we thus demonstrate a general method to investigate high-order reduced density matrices and correlation functions in systems for which analytical solutions are unknown. We trace the build-up of correlation features in the crossover from weak interactions to the Tonks-Girardeau limit and find that the higher-order correlation functions and densities resemble those in the Tonks-Girardeau limit for way smaller interactions than anticipated from just the one-body density.

연구 동기 및 목표

• 양자 다체계에서 고차수 감소된 밀도 행렬과 글로버 상관 함수를 계산하기 위한 일반적이며 수치적으로 안정된 방법을 개발하는 것.
• 조화 퍼텐셜 내에 있는 몇몇 1차원 보손의 페르미온화 과정이 상호작용 전이 영역에서 어떻게 일어나는지 조사하는 것.
• MCTDH-X에서의 수치적 결과를 톤스-지라르도 극한에서의 해석적 해와 관련된 쌍 파동함수 접근법과 비교하는 것.
• 고차수 상관 함수가 톤스-지라르도 기체의 것과 유사해지기 시작하는 상호작용 강도가 어느 정도인지 결정하는 것.
• 해석적 해가 존재하지 않는 시스템에서 상관관계 함수를 연구하기 위한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• p-체 밀도와 글로버 상관 함수는 다체 파동함수에 소멸 장 연산자를 반복적으로 적용하여 계산된다.
• p-체 밀도 ρ(p)(χ₁,…,χₚ)는 ⟨Ψ|Ψ†(χ₁)…Ψ†(χₚ)Ψ(χₚ)…Ψ(χ₁)|Ψ⟩의 기대값으로 얻어진다.
• p-차수 글로버 상관 함수 g(p)(χ₁,…,χₚ)는 p-체 밀도 ρ(p)(χ₁,…,χₚ)를 일차 밀도의 곱으로 나누어 정의된다.
• 감소된 파동함수는 |Ψ(k)⟩ = Nₖ Ψ(χₖ)|Ψ(k−1)⟩를 통해 반복적으로 생성되어 고차수 밀도의 효율적 계산이 가능하다.
• 조건부 밀도 ρ(j)cond(χⱼ)는 ∏ⱼ ρ(j−1)cond(χⱼ)의 곱을 통해 p-BD를 계산하는 데 사용되며, 효율적인 반복적 방법을 제공한다.
• 다중구성 상태와 시간에 따라 변화하는 오비탈 및 계수를 사용하여 다체 파동함수를 계산하기 위해 MCTDH-X 방법이 사용되며, 시간에 따라 변하는 변분 원리에 의해 최적화된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 트랩에 갇힌 보손에서 고차수 상관 함수가 톤스-지라르도 기체의 것과 비슷해지기 시작하는 상호작용 강도는 어느 정도인가?
• RQ2 약한 상호작용에서 강한 상호작용으로의 전이 동안 p-체 밀도와 글로버 상관 함수는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 MCTDH-X의 수치적 결과가 톤스-지라르도 극한에서의 해석적 해와 관련된 쌍 파동함수 접근법과 어느 정도 일치하는가?
• RQ4 이 방법은 유한한 상호작용 강도에서 p-체 밀도의 상관관계 구멍을 정확하게 포착할 수 있는가?
• RQ5 다양한 상호작용 강도에서 고차수 상관 함수의 공간적 구조는 일차 밀도와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• MCTDH-X 방법은 톤스-지라르도 극한에서 해석적 결과를 매우 정확하게 재현하여 수치적 접근의 타당성을 입증한다.
• λ = 5의 상호작용 강도에서도 p-체 밀도와 글로버 상관 함수는 상관관계 구멍 형성의 명확한 징후를 보이며, TG 극한과 유사하다.
• p ≥ 5의 고차수 상관 함수는 λ = 1에서 대각선을 따라 위상의 상실과 밀도 감소를 보이며, 이는 일차 밀도만으로는 예측할 수 없을 정도로 강한 상관관계가 조기에 나타남을 시사한다.
• 이 방법은 TG 극한에서 운동량 공간 밀도의 k = 0에서의 날카운 점을 정확히 포착하여 강한 상관관계를 잘 기술하고 있음을 확인한다.
• M = 24 오비탈을 사용하더라도 MCTDH-X 밀도는 해석적 TG 결과로 완전히 수렴하지 않는데, 이는 비해석적 부호 함수 때문이지만, 피크 수와 간격과 같은 주요 특징은 잘 포착하고 있다.
• p = 3, 5, 6인 p-글로버 상관 함수는 λ = 1에서 위상의 현저한 감소를 보이며, λ = 20에서는 일차 밀도가 여전히 약한 상관관계를 보일 때조차 TG 극한과 구분되지 않게 된다.