[논문 리뷰] Many parameter Lipschitz perturbation of unbounded operators

Andreas Kriegl, Peter W. Michor외 1명|arXiv (Cornell University)|2006. 11. 16.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유계가 아닌 자기수반 연산자 A(u)의 고유값에 대한 정칙성 결과를 확립한다. 여기서 A(u)는 편리한 벡터 공간 안의 매개변수 u에 대해 부드럽게 의존한다. A(u)가 C¹,α이면 고유값은 국소적으로 1- Hölder 연속이다; A(u)가 오직 C⁰,¹이면 고유값은 국소적으로 지수 1/N의 Hölder 연속이며, 여기서 N은 국소적 고유값 중복도의 최대값이다 — N=2일 경우 C⁰,¹로 향상된다.

ABSTRACT

Abstract. If u ↦ → A(u) is a C 1,α-mapping having as values unbounded selfadjoint operators with compact resolvents and common domain of definition, parametrized by u in an (even infinite dimensional) space then any continuous arrangement of the eigenvalues u ↦ → λi(u) is C 0,1 in u. If u ↦ → A(u) is C 0,1, then the eigenvalues may be chosen C 0,1/N (even C 0,1 if N = 2), locally in u, where N is locally the maximal multiplicity of the eigenvalues. Theorem. Let U ⊆ E be a c ∞-open subset in a convenient vector space E. Let u ↦ → A(u), for u ∈ U, be a mapping with values unbounded self-adjoint operators in a Hilbert space H with common domain of definition and with compact resolvent. (A) If u ↦ → A(u) is C 1,α, for some 0 < α ≤ 1, then any continuous arrangement of the eigenvalues of A(u) (e.g., ordered by size), is C 0,1. (B) If u ↦ → A(u) is C 0,1, then the increasingly ordered continuous eigenvalues of A(u) are C 0,1/N locally in u ∈ U, where N is locally the maximal multiplicity of the eigenvalues. If N = 2, the increasingly ordered eigenvalues are even locally C 0,1.

연구 동기 및 목표

• 유계가 아닌 자기수반 연산자 가중치 가중치가 있는 가중치 가중치의 고유값 배열의 정칙성 분석.
• 연산자 가중치 A(u)의 부드러움이 그 고유값의 Hölder 정칙성에 어떻게 영향을 미치는지 규명.
• A(u)에 대한 최소한의 정규성 가정 하에 고유값 분지에 대한 날카로운 Hölder 지수 확립.
• 특히 고유값이 교차할 때 고유값 정칙성이 국소적 중복도에 어떻게 의존하는지 해결.

제안 방법

• 무한차원 매개변수 공간을 다룰 수 있도록 편리한 벡터 공간을 사용하여 연산자 가중치 가중치 분석.
• 매개변수 u ↦→ A(u)에 대한 C¹,α 및 C⁰,¹ 정규성 조건을 적용하여 고유값의 정칙성 도출.
• 이산적이고 고립된 고유값을 보장하기 위해 유계가 아닌 자기수반 연산자의 스펙트럼 이론을 적용.
• 크기 순서로 정렬된 연속적 고유값 배열(예: 크기 순서)을 사용하여 매개변수 u에 대한 Hölder 연속성 연구.
• 고유값 중복도 N의 국소적 분석을 통해 고유값 분지에 대한 최적의 Hölder 지수 1/N 결정.
• 기존의 분해 이론 및 스펙트럼 흐름 결과를 활용하여 고유값 변화에 대한 u에 대한 경계 설정.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연산자 가중치 A(u)가 매개변수 u에 대해 오직 C⁰,¹일 경우 고유값의 최적 Hölder 정칙성은 무엇인가?
• RQ2 고유값의 최대 국소적 중복도 N이 고유값 분지의 정칙성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 최대 중복도 N=2일 경우, 고유값 정칙성이 일반적인 1/N 경계에서 C⁰,¹으로 향상될 수 있는가?
• RQ4 A(u)의 C¹,α 정칙성이 임의의 연속 고유값 배열에 대해 C⁰,¹ 정칙성을 유도하는가?
• RQ5 매개변수 공간의 무한차원 성격이 고유값 매핑의 정칙성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• A(u)가 어떤 α ∈ (0,1]에 대해 C¹,α이면, 임의의 연속 고유값 배열은 u에 대해 C⁰,¹(1-Hölder 연속)이다.
• A(u)가 오직 C⁰,¹일 경우, 증가하는 순서로 정렬된 고유값은 국소적으로 u에 대해 C⁰,¹/N이다. 여기서 N은 국소적 최대 고유값 중복도이다.
• N=2인 경우, 증가하는 순서로 정렬된 고유값은 국소적으로 C⁰,¹이 되어 일반적인 1/N 경계를 향상시킨다.
• 결과는 공통 도메인과 컴팩트한 해를 가지는 유계가 아닌 자기수반 연산자 가중치에 대해 성립한다.
• 매개변수 공간 E가 무한차원이지만 편리한 벡터 공간이면 정규성 결과는 여전히 유효하다.
• 크기 순서로 정렬된 연속 고유값 배열과 같은 분석은 Hölder 추정치의 강건성을 보장한다.