[논문 리뷰] Many $T$ copies in $H$-free subgraphs of random graphs

Noga Alon, Alexandr Kostochka외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 29.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 14인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 무작위 그래프 $G(n,p)$의 $H$-free 부분그래프에서 $K_m$ 복제본의 최대 개수를 조사하며, 대부분의 $K_m$ 복제본을 유지하는 것과 $\chi(H)-1$-partite 부분그래프로 전환하는 전이의 임계점이 $p$가 $m_2(H)$에 상대적으로 어떻게 되는지에 따라 결정되며, $m_2(H) > m_2(K_m)$일 경우 $p = n^{-1/m_2(H)}$에서 날카로운 전이가 발생하고, $m_2(H) < m_2(K_m)$일 경우 더 넓은 전이 창이 존재함을 보이며, 제안된 $k$-색깔 그래프의 새로운 구성 방법을 통해 $m_2$ 값을 제어함으로써 이를 뒷받침한다.

ABSTRACT

For two fixed graphs $T$ and $H$ let $ex(G(n,p),T,H)$ be the random variable counting the maximum number of copies of $T$ in an $H$-free subgraph of the random graph $G(n,p)$. We show that for the case $T=K_m$ and $\chi(H)> m$ the behavior of $ex(G(n,p),K_m,H)$ depends strongly on the relation between $p$ and $m_2(H)=\max_{H'\subset H, |V(H')|'\geq 3}\left\{ \frac{e(H')-1}{v(H')-2} ight\}$. When $m_2(H)> m_2(K_m)$ we prove that with high probability, depending on the value of $p$, either one can maintain almost all copies of $K_m$, or it is asymptotically best to take a $\chi(H)-1$ partite subgraph of $G(n,p)$. The transition between these two behaviors occurs at $p=n^{-1/m_2(H)}$. When $m_2(H) 0$ small at $p=n^{-1/m_2(H)+\delta}$ one can typically still keep most of the copies of $K_m$ in an $H$-free subgraph of $G(n,p)$. Thus, the transition between the two behaviors in this case occurs at some $p$ significantly bigger than $n^{-1/m_2(H)}$. To show that the second case is not redundant we present a construction which may be of independent interest. For each $k \geq 4$ we construct a family of $k$ chromatic graphs $G(k,\epsilon_i)$ where $m_2(G(k,\epsilon_i))$ tends to $\frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)} (< m_2(K_{k-1}))$ as $i$ tends to infinity. This is tight for all values of $k$

연구 동기 및 목표

• 에르되시-레니의 무작위 그래프 $G(n,p)$의 $H$-free 부분그래프에서 $K_m$ 복제본의 최대 개수의 점근적 행동을 규명하는 것.
• 최적의 $H$-free 부분그래프가 대부분의 $K_m$ 복제본을 유지하는 것에서 $\chi(H)-1$-partite 구조로 전환하는 데 필요한 임계 확률 $p$를 규명하는 것.
• $m_2(H) < m_2(K_m)$인 경우 비트리비얼한 전이 창이 존재하는지, 이는 $m_2(H) > m_2(K_m)$일 때의 날카로운 임계점과 어떻게 다를지 규명하는 것.
• $m_2$ 값이 $\frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)}$에 가까워지는 $k$-색깔 그래프의 가족을 구성함으로써, 이 경계의 날카로움을 입증하고 두 번째 경우의 비중복성을 검증하는 것.

제안 방법

• 확률론적 및 극한 그래프 이론 기법을 사용하여 $G(n,p)$의 $H$-free 부분그래프의 극한 구조를 분석하는 것.
• $m_2(H) = \max_{H' \subset H, |V(H')| \geq 3} \left\{ \frac{e(H')-1}{v(H')-2} \right\}$를 정의하여, 이 파라미터가 단계 전이를 지배하는 핵심 요소임을 밝히는 것.
• $m_2(H) > m_2(K_m)$일 경우, $p = n^{-1/m_2(H)}$에서 $K_m$ 유지 및 파artite 부분그래프로의 전이에 날카로운 임계점이 존재함을 증명하는 것.
• $m_2(H) < m_2(K_m)$일 경우, 전이가 $n^{-1/m_2(H)}$보다 훨씬 큰 $p$에서 발생함을 증명하여 더 넓은 전이 창이 있음을 나타내는 것.
• $i \to \infty$일 때 $m_2(G(k,\epsilon_i)) \to \frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)}$가 되는 $k$-색깔 그래프 $G(k,\epsilon_i)$의 가족을 구성함으로써 경계의 날카로움을 입증하는 것.
• 확률적 방법과 극한 그래프 구성 기법을 사용하여, $m_2(H) < m_2(K_m)$이지만 여전히 두 번째 경우가 비중복임을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적의 $H$-free 부분그래프가 $G(n,p)$에서 대부분의 $K_m$ 복제본을 유지하는 것에서 $\chi(H)-1$-partite 구조로 전환하는 데 필요한 임계 확률 $p$는 무엇인가요?
• RQ2 $m_2(H) > m_2(K_m)$일 경우와 $m_2(H) < m_2(K_m)$일 경우 전이 행동은 어떻게 다릅니까?
• RQ3 $m_2(H) < m_2(K_m)$인 경우 비트리비얼한 전이 창이 존재할 수 있으며, 만약 그렇다면 그 창은 어떤 $p$에서 발생합니까?
• RQ4 $k$-색깔 그래프의 $m_2$ 값에 대해 경계 $\frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)}$는 날카로운가요?
• RQ5 $m_2(H) < m_2(K_m)$인 경우가 극한 $H$-free 부분그래프의 맥락에서 비중복임을 보여주는 구성이 가능합니까?

주요 결과

• $m_2(H) > m_2(K_m)$일 경우, 대부분의 $K_m$ 복제본을 유지하는 것과 $\chi(H)-1$-partite 부분그래프로의 전이는 $p = n^{-1/m_2(H)}$에서 날카롭게 발생한다.
• $m_2(H) < m_2(K_m)$일 경우, 전이는 $n^{-1/m_2(H)}$보다 훨씬 큰 $p$에서 발생함을 나타내어 더 넓은 전이 창이 있음을 시사한다.
• 작은 $\delta > 0$에 대해 $p = n^{-1/m_2(H)+\delta}$일 때, 일반적으로 $H$-free 부분그래프에서 대부분의 $K_m$ 복제본을 유지하는 것이 가능함을 확인하여 점진적인 전이를 뒷받침한다.
• $i \to \infty$일 때 $m_2(G(k,\epsilon_i))$가 $\frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)}$로 수렴하는 $k$-색깔 그래프 $G(k,\epsilon_i)$의 구성이 제공되며, 이는 경계가 날카로움을 보여준다.
• 이 구성은 $m_2(H) < m_2(K_m)$인 경우가 비중복임을 입증하며, $m_2$ 값이 $m_2(K_{k-1})$보다 엄밀히 작은 그래프가 존재함을 보여준다.
• 논문은 $ex(G(n,p),K_m,H)$의 행동이 $p$, $m_2(H)$, $m_2(K_m)$ 간의 상호작용에 의해 결정되며, 그 상대적 크기에 따라 다릅니다.