[논문 리뷰] Mapping Class Groups do not have Kazhdan's Property (T)

Jørgen Ellegaard Andersen|ArXiv.org|2007. 06. 14.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 37인용 수 38

한 줄 요약

이 논문은 고리수 2 이상인 닫힘 양방향 표면의 매핑 클래스 군이 칸다른 성질 (T)를 가지지 않음을 증명한다. 이는 비자명한 고정 벡터가 없는 거의 고정 벡터를 가지는 유니터리 표현을 구성함으로써 이루어지며, 리셰티힌-투레프의 위상적 양자장 이론과 평탄한 SU(2) 접속의 모듈리 공간의 기하 양자화를 이용하여, 거의 고정 벡터는 존재하지만 비자명한 고정 벡터는 없는 유한 차원 표현의 가람을 구성함으로써 성립한다. 이는 성질 (T)의 부정을 입증한다.

ABSTRACT

We prove that the mapping class group of a closed oriented surface of genus at least two does not have Kazhdan's property (T).

연구 동기 및 목표

• 닫힘 양방향 표면의 고리수 2 이상에 대한 매핑 클래스 군이 칸다른 성질 (T)를 갖지 않음을 부정하는 것.
• 위상적 양자장 이론에서 유도된 유니터리 표현을 이용해 성질 (T)에 대한 반례를 구성하는 것.
• 비자명한 고정 벡터에서 유래하지 않는 거의 불변 벡터의 존재를 보여주는 것.
• 베르린데 배럴과 그 연관된 평탄한 접속이 성질 (T)가 실패하는 충실한 표현을 제공함을 확립하는 것.

제안 방법

• 표면 $\Sigma - \{p\}$ 위의 평탄한 $SU(2)$ 접속의 모듈리 공간 $M$ 을 구성하고, 점 $p$ 에서의 호로니가 $-\mathrm{Id}$ 임을 조건으로 하며 심플렉틱 구조를 부여한다.
• 기하 양자화를 $M$ 에 적용하여 테이히뮐러 공간 $\mathcal{T}$ 위에서 $\mathcal{L}^k$ 의 헬름홀로직 섹션의 범주인 베르린데 배럴 $\mathcal{V}_k$ 를 얻는다.
• Verlinde 배럴 $\mathcal{V}_k$ 상의 평탄한 $\Gamma$-불변 접속 $\hat{\nabla}$ 를 이용해, 공변 불변 섹션 위에서 매핑 클래스 군 $\Gamma$ 의 유니터리 표현을 정의한다.
• 자기 연산자 배럴 $\mathrm{End}_0(\mathcal{V}_k)$ 를 구성하고, 공변 불변 섹션의 공간인 $\mathcal{H}_k$ 에서 표현을 정의한다.
• $\pi_1(\Sigma - \{p\})$ 에서 유한 부분군 $\Lambda \subset SU(2)$ 로의 호모로지즘을 통해 $M$ 에서의 $\Gamma$-불변 유한 부분집합 $X$ 를 정의한다.
• 점 질량이 $X$ 에서 정의된 $\mathrm{End}(\mathcal{V}_k)$ 의 섹션 $E_X^{(k)}$ 와 그 추적 제로 부분 $E_{X,0}^{(k)}$ 를 구성하고, 이를 통해 $\mathcal{H}_k$ 에서 단위 벡터 $\mathcal{E}_{X,0}^{(k)}$ 를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고리수 ≥2 인 닫힘 양방향 표면의 매핑 클래스 군은 칸다른 성질 (T)를 만족하는가?
• RQ2 매핑 클래스 군의 유니터리 표현을 구성할 수 있는가? 이는 거의 불변 벡터는 존재하지만 비자명한 고정 벡터는 없는가?
• RQ3 리셰티힌-투레프 TQFT와 기하 양자화에서 유도된 표현들이 성질 (T)를 만족하지 않는가?
• RQ4 베르린데 배럴을 통한 매핑 클래스 군 표현의 점점 충실한 성질이 성질 (T)의 실패를 탐지하는 데에 충분한가?
• RQ5 SU(2) 의 유한 부분군의 호로니를 이용해, 모듈리 공간에서 $\Gamma$-불변 집합을 구성할 수 있는가? 이는 거의 고정 벡터를 지지하는가?

주요 결과

• 고리수 2 이상인 닫힘 양방향 표면의 매핑 클래스 군은 비자명한 고정 벡터가 없는 거의 고정 벡터를 가지는 유니터리 표현을 구성함으로써, 칸다른 성질 (T)를 갖지 않음을 입증한다.
• 표현 $\mathcal{H}_k$ 는 [A2] 에서의 점점 충실한 결과에 의해 충실함을 보이며, 반례의 비자명성을 보장한다.
• 충분히 큰 $k$ 에 대해 추적 제로 자기 연산자 $E_{X,0}^{(k)}$ 의 노름이 0에서 일정하게 떨어져 있어, 정규화된 벡터 $\mathcal{E}_{X,0}^{(k)}$ 가 잘 정의되고 0이 아님을 보장한다.
• 모든 $\phi \in \Gamma$ 에 대해 $\mathcal{E}_{X,0}^{(k)}$ 와 그 이미지 $\phi(\mathcal{E}_{X,0}^{(k)})$ 사이의 거리는 $\tilde{C}/k$ 이하로 유계이므로, $k \to \infty$ 일 때 벡터는 거의 고정됨을 보여준다.
• 거의 고정 벡터 $\mathcal{E}_{X,0}^{(k)}$ 는 군 $\Gamma$ 의 작용 하에 비자명한 고정 벡터로 수렴하지 않으며, 이는 성질 (T) 의 부재를 확인한다.
• 이 구성은 호로니 운반의 $O(k^{-1})$ 수렴성과 접속 $\hat{\nabla}$ 의 평탄성에 의존하며, 이는 테이히뮐러 공간 전반에서 표현의 일致성을 보장한다.