[논문 리뷰] Mapping NP-hard and NP-complete optimisation problems to Quadratic Unconstrained Binary Optimisation problems

Bas Lodewijks|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 18.

Advanced Optimization Algorithms Research인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 루카스(2014)가 처음 제안한 NP-난이도 및 NP-완전 문제의 잘못된 QUBO 표현을 수정한다—특히 클리크 문제와 기타 문제들에 대해 변수 인덱싱과 제약 설계의 오류를 밝혀낸다. 적절한 매개변수 제약 조건을 갖춘 수정된 QUBO 표현을 제공하며, 숫자 분할, 그래프 분할, 부분합, 수치적 3차원 매칭 문제에 대한 새로운 QUBO 매핑을 추가로 확장하여 원래 문제와 QUBO 해가 정확히 일치하도록 보장한다.

ABSTRACT

We discuss several mappings from well-known NP-hard problems to Quadratic Unconstrained Binary Optimisation problems which are treated incorrectly by Lucas. We provide counterexamples and correct the mappings. We also extend the body of QUBO formulations of NP-complete and NP-hard optimisation problems by discussing additional problems.

연구 동기 및 목표

• 루카스(2014)가 이전에 발표한 NP-난이도 및 NP-완전 문제의 QUBO 표현, 특히 클리크 문제 표현에서 오류를 식별하고 수정하는 것.
• 변수 인덱싱과 제약 설계의 오류를 수정하여 QUBO 표현이 원래 최적화 문제를 정확히 반영하도록 보장하는 것.
• 수치 분할, 그래프 분할, 부분합, 수치적 3차원 매칭 등의 추가 문제에 대해 정확한 매핑을 유도하여 기존의 QUBO 표현 체계를 확장하는 것.
• 최적의 QUBO 해가 원래 문제의 최적 해와 정확히 일치하도록 보장하기 위한 철저한 매개변수 제약 조건을 제공하는 것.
• 이온화 양자 최적화의 실용적 응용을 지원하기 위해, 양자 앤날링 하드웨어에 맞게 올바르고 임베딩 가능한 QUBO 표현을 제공하는 것.

제안 방법

• 클리크 문제의 QUBO를 재구성하여 $y_i$ 변수의 범위를 $i=2$에서 $\Delta$에서 $i=2$에서 $\Delta+1$로 수정함으로써 최대 클리크 크기가 정확히 표현되도록 보장한다.
• 클리크 크기 인코딩과 간선 연결성을 올바르게 구현하기 위해 $H_A$, $H_B$, $H_C$ 해밀토니안 성분을 재수정하며, 제약 위반에 대한 페널티 항을 사용한다.
• 정수를 부분집합에 할당하기 위한 이진 변수 $x_{i,j}$를 사용하여 숫자 분할 문제에 대한 새로운 QUBO 표현을 제안하며, 부분집합 합의 불균형과 중복 할당에 대한 페널티 항을 부여한다.
• 유사한 페널티 기반 접근법을 $m$개의 부분집합으로의 그래프 분할 문제에 적용하며, 정점 할당을 위해 $x_{v,j}$를 사용하고, $H_A$는 다중 할당을 페널티로 처리하고, $H_B$는 부분집합 크기가 동일하도록 강제하며, $H_C$는 부분집합 간 간선 수를 최소화한다.
• 부분합 문제에 대해 직접적인 QUBO 매핑을 제안하며, $H = \left(\sum s_i x_i - t\right)^2$로 표현하며, 최적 해는 합이 목표값 $t$와 정확히 일치할 때 발생한다.
• 요소를 삼중으로 할당하기 위한 변수 $x_{i,j}, y_{i,j}, z_{i,j}$를 사용하여 수치적 3차원 매칭 문제에 대한 QUBO 표현을 개발하며, $H_A$는 정확한 커버리지 보장을 하고, $H_B$는 각 삼중의 합이 $b$가 되도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루카스의 클리크 문제 QUBO 표현에서 특정한 오류는 무엇이며, 그것이 해의 정확성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 클리크 문제의 QUBO 표현을 어떻게 수정하여 가장 큰 클리크가 유일하고 정확하게 인코딩되도록 할 수 있는가?
• RQ3 페널티 기반 QUBO 프레임워크를 숫자 분할 및 그래프 분할과 같은 다른 NP-완전 및 NP-난이도 문제로 일관되게 확장할 수 있는가?
• RQ4 최적의 QUBO 해가 원래 문제의 최적 해와 정확히 일치하도록 보장하기 위해 필요한 매개변수 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 부분합 및 수치적 3차원 매칭과 같은 문제에 대해 정확한 해 매핑을 보장하기 위해 QUBO 표현을 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 루카스(2014)의 클리크 문제 QUBO 표현은 $y_i$ 변수의 범위 오류로 인해 잘못되었다. 이는 $\Delta+1$까지의 클리크 크기를 고려하지 못함으로써 발생한다.
• 변수 $y_i$의 범위를 $i=2$에서 $\Delta$에서 $i=2$에서 $\Delta+1$로 수정함으로써 최대 클리크 크기가 정확히 인코딩되고 크기 제약 조건이 정확히 구현된다.
• 수정된 클리크 문제 QUBO는 $A > \Delta B$, $C < A - \Delta B$, $A,B,C > 0$ 조건을 만족하며, 이는 클리크 최대화를 정확히 보장하는 페널티 구조를 보장한다.
• 이 논문은 부분집합 합의 등가성과 상호배타적 할당에 대한 페널티 항을 포함한 이진 변수를 사용하여 숫자 분할 문제에 대해 정확한 QUBO 표현을 성공적으로 도출하였다.
• 일반적인 $m$개의 부분집합으로의 그래프 분할 문제에 대해, $H_A$, $H_B$, $H_C$ 성분을 포함한 QUBO 표현은 상호배타적 할당, 동일한 부분집합 크기, 최소한의 부분집합 간 간선 수를 보장하며, 매개변수 제약 조건 $A > B > C \cdot \min(m\Delta, N)/(m(m+2))$ 하에서 성립한다.
• 부분합 문제는 $H = \left(\sum s_i x_i - t\right)^2$를 통해 정확히 매핑되며, 합이 목표값 $t$와 정확히 일치할 경우에만 0이 되므로, 부분합이 $t$와 일치하는 집합이 존재할 경우에만 정확한 대응이 보장된다.