[논문 리뷰] Marcinkiewicz-type discretization of $L^p$-norms under the Nikolskii-type inequality assumption

Egor D. Kosov|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 04.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 29인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 $L^p(\mu)$의 유한차원 부분공간에서 니콜스키 유형 부등식 조건을 가정할 때, $L^p$-노름에 대한 근사 최적의 샘플링 이산화 경계를 확립한다. 고도의 체이닝 기법과 엔트로피 적분 추정치를 활용하여, 높은 확률로 이산화를 위한 $m = O(N)$ 개의 샘플링 점을 얻으며, 근방 근사에 대한 기존 결과를 개선하고 보운-린든스트라우스-밀만 임bedding 정리들을 복원한다.

ABSTRACT

The paper studies the sampling discretization problem for integral norms on subspaces of $L^p(μ)$. Several close to optimal results are obtained on subspaces for which certain Nikolskii-type inequality is valid. The problem of norms discretization is connected with the probabilistic question about the approximation with high probability of marginals of a high dimensional random vector by sampling. As a byproduct of our approach we refine the result of O. Gu$\acute{e}$don and M. Rudelson concerning the approximation of marginals. In particular, the obtained improvement recovers a theorem of J. Bourgain, J. Lindenstrauss, and V. Milman concerning embeddings of finite dimensional subspaces of $L^p[0, 1]$ into $\ell_p^m$. The proofs in the paper use the recent developments of the chaining technique by R. van Handel.

연구 동기 및 목표

• 유한차원 부분공간에서 니콜스키 유형 부등식을 만족하는 $L^p$-노름의 샘플링 이산화 문제를 해결하기 위해.
• 무작위로 $m$개의 점을 선택하여 $L^p$-노름의 근사에 대해 높은 확률 경계를 제공하기 위해.
• 고차원 랜덤 벡터의 근방 근사에 대한 기존 결과를 샘플링을 통해 개선하기 위해.
• 유한차원 부분공간이 $L^p[0,1]$에 포함될 때 $\ell_p^m$로의 임베딩에 대한 고전적 정리들을 확률적 이산화를 통해 복원하고 강화하기 위해.
• 제한된 노름 하에서 $L^p$-단위구의 엔트로피 수와 엔트로피 적분에 대한 날카운 경계를 설정하기 위해.

제안 방법

• 확률적 접근을 사용: $\mu$에서 i.i.d. 로 $m$개의 점 $X_1, \dots, X_m$ 을 샘플링하여 $\|f\|_p^p$ 를 $\frac{1}{m}\sum |f(X_j)|^p$ 로 근사한다.
• $L$ 부분공간 내의 $L^p$-단위구 $B = B_p(L)$ 에 대해 $\mathbb{E}[V_p(B)]$ 의 기대값을 분석하여 진짜 노름에서의 편차를 제한한다.
• R. van Handel 이 최근 개발한 체이닝 기법을 응용하여 함수 클래스 위에서의 경험 과정 최대값을 제어한다.
• 엔트로피 수와 엔트로피 적분 추정치를 사용하여 $\|\cdot\|_{\infty,X}$ 와 $\|\cdot\|_2$ 하에서 $B_p(L)$ 의 커버링 수를 제한한다.
• 이중 수도박 보조정리와 가우시안 과정을 활용하여 $e_k(B_p(L), \|\cdot\|_{\infty,X})$ 의 경계를 유도하며, $\|f\|_\infty \leq M\|f\|_2$ 조건을 활용한다.
• 엔트로피 적분 경계의 매개변수에 대해 최적화하여 최종적으로 $m = O(N)$ 결과를 도출하며, $M$ 과 $p$ 에 대한 명시적 의존성을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차원 부분공간 $L \subset L^p(\mu)$ 가 어떤 조건을 만족할 경우, $m = O(N)$ 개의 무작위 샘플을 통해 $L^p$-노름을 높은 확률로 이산화할 수 있는가?
• RQ2 노름 부등식 $\|f\|_\infty \leq M\|f\|_2$ 는 $L^p$-노름 이산화의 샘플링 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 체이닝 기법을 더 정교하게 다듬어 고차원 랜덤 벡터의 근방 근사에 대한 샘플링에 의한 경계를 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 보운, 린든스트라우스, 밀만의 $L^p[0,1]$ 부분공간이 $\ell_p^m$ 로의 임베딩에 대한 결과를 확률적 이산화를 통해 복원하거나 강화할 수 있는가?
• RQ5 샘플링 수 $m$ 이 차원 $N$, 니콜스키 상수 $M$, 지수 $p$ 에 대해 최적의 의존성은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 니콜스키 유형 부등식 $\|f\|_\infty \leq M\|f\|_2$ 를 만족할 경우, $m = O(N)$ 개의 샘플링 점으로 높은 확률로 $L^p$-노름 이산화가 가능하다고 확립한다.
• 엔트로피 수 $e_k(B_p(L), \|\cdot\|_{\infty,X})$ 의 경계는 $O\bigl( [\log m]^{1/2} [\log M]^{1/p - 1/2} M^{2/p} 2^{-k/p} \bigr)$ 로 나타나며, 이는 최종 결과의 핵심이다.
• 기존 루델슨의 확률적 접근에서 $p=2$ 일 때의 $m = O(N \log N)$ 경계를 개선하여 동일한 조건 하에 최적의 $m = O(N)$ 를 달성한다.
• 결과는 보운, 린든스트라우스, 밀만의 고전적 정리인 $N$차원의 $L^p[0,1]$ 부분공간이 $\ell_p^m$ 로의 임베딩에 대해 $m = O(N)$ 이라는 결과를 복원한다.
• 엔트로피 적분 경계는 매개변수 최적화를 통해 개선되어 $M$, $p$, $N$ 에 대한 날카운 의존성과 명시적 상수(오직 $p$ 에만 의존)를 제공한다.
• 이 접근법은 고전적 구에돈-루델슨 결과의 새로운 정량적 개선을 제공하며, $M$ 과 $p$ 에 대한 의존성의 개선을 이룬다.