[논문 리뷰] Marcinkiewicz-Zygmund Strong Law of Large Numbers for Pairwise i.i.d. Random Variables

V. M. Korchevsky|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 27.

Probability and Risk Models참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $1 < p < 2$ 인 경우 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$ 조건 하에 상호독립인 i.i.d. 랜덤 변수에 대해 Marcinkiewicz–Zygmund 강한 법칙을 확립한다. 고전적인 결과를 독립적인 시퀀스에서 상호독립적인 시퀀스로 확장함으로써, $(S_n - \mathbb{E}S_n)/n^{1/p} \to 0$ 거의 확실히 수렴함을 증명하며, 모멘트 경계와 절단 기법을 사용하여 더 약한 종속성 가정 하에 고전적 정리의 일반화를 이룬다.

ABSTRACT

It is shown that the Marcinkiewicz-Zygmund strong law of large numbers holds for pairwise independent identically distributed random variables. It is proved that if $X_{1}, X_{2}, \ldots$ are pairwise independent identically distributed random variables such that $E|X_{1}|^p &lt; \infty$ for some $1 &lt; p &lt; 2$, then $(S_{n}-ES_{n})/n^{1/p} o 0$ a.s. where $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} X_{k}$.

연구 동기 및 목표

• 독립적인 i.i.d. 랜덤 변수에 대해 적용되는 Marcinkiewicz–Zygmund 강한 법칙을 상호독립적인 i.i.d. 랜덤 변수로 확장하기.
• 상호독립성 하에서 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$ 조건이 $1 < p < 2$ 를 만족할 때 $(S_n - \mathbb{E}S_n)/n^{1/p}$ 의 거의 확실히 수렴함을 보장하는지 규명하기.
• 문헌에서의 빈도를 메우기 위해 고전적 Marcinkiewicz–Zygmund 정리가 더 약한 상호독립성 가정 하에서도 성립함을 보여주기.
• Etemadi, Sawyer, Petrov의 결과와 본 연구를 통합하여 상호독립인 i.i.d. 시퀀스에 대한 강한 법칙의 통합 일반화를 제공하기.

제안 방법

• 큰 편차를 제어하기 위해 랜덤 변수를 수준 $n^{1/p}$ 에서 절단하고, 모멘트 부등식을 적용하기.
• 적분 가능성 조건 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$ 에 기반해, Borel–Cantelli 보조정리로 절단된 尾部가 거의 확실히 사라짐을 보이기.
• 특히 $\mathbb{E}(|X_i| \mathbb{I}_{\{|X_i| > n^{1/p}\}})$ 와 같은 절단된 변수의 모멘트 경계를 적용하고, 그 정규화된 합이 0으로 수렴함을 보이기.
• 이중 블록 기법을 사용하여 합 $S_n$ 을 크기 $2^n$ 의 블록으로 분해하고, 각 블록 내에서 절단된 부분합의 행동 분석하기.
• 절단과 블록 내 독립성에 기반해 각 블록의 최대 편차를 경계함으로써, 정규화된 중심화된 합의 거의 확실한 수렴을 확립하기.
• 꼬리 행동과 모멘트 감쇠에 관한 레마 1–3의 결과를 최대부등식 기법과 결합하여, 정규화된 합의 거의 확실한 수렴을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상호독립인 i.i.d. 랜덤 변수에 대해 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$ 조건이 $1 < p < 2$ 를 만족할 때 Marcinkiewicz–Zygmund 강한 법칙이 성립하는가?
• RQ2 고전적 Marcinkiewicz–Zygmund 정리에서 독립성 가정을 상호독립성으로 약화시켜도 거의 확실한 수렴이 유지되는가?
• RQ3 적분 가능성 조건 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$ 는 상호독립성 하에서 $(S_n - \mathbb{E}S_n)/n^{1/p}$ 의 수렴을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 분포 꼬리의 절단과 모멘트 추정은 상호독립적 경우에서 거의 확실한 수렴을 증명하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 상호독립인 i.i.d. 랜덤 변수에 대해 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$ 조건이 $1 < p < 2$ 를 만족할 때 Marcinkiewicz–Zygmund 강한 법칙이 성립한다.
• 정규화된 중심화된 합 $(S_n - \mathbb{E}S_n)/n^{1/p} \to 0$ 이 거의 확실히 수렴하며, 이는 랜덤 변수가 상호독립일 뿐만 아니라 독립일 필요가 없음을 의미한다.
• 증명은 랜덤 변수를 $n^{1/p}$ 에서 절단하고, Borel–Cantelli 보조정리로 꼬리 기여가 거의 확실히 사라짐을 보이는 데 기반한다.
• 절단된 변수의 기대값은 $ \frac{1}{n^{1/p}} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[|X_i| \mathbb{I}_{\{|X_i| > n^{1/p}\}}] \to 0 $ 으로 수렴하며, $n \to \infty$ 일 때 성립한다.
• 이중 블록에서 절단된 변수의 분산 합은 유한하며, 이는 최대부등식 기법을 통해 블록 합의 거의 확실한 수렴을 보장한다.
• 본 연구는 Theorem A (Marcinkiewicz–Zygmund) 를 상호독립인 i.i.d. 경우로 일반화하여, 상호독립성 하에서 $0 < p < 2$ 에 대해 통합된 강한 법칙을 완성한다.