[논문 리뷰] Marginal density expansions for diffusions and stochastic volatility, part II: Applications [to the Stein--Stein model]

J. D. Deuschel, Peter K. Friz외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 상관된 스틴-스틴 확률적 볼라티리티 모델의 尾밀도에 대한 첫 번째 엄밀한 점근 전개를 수립하여, 구리샤시빌리와 스틴(2009)이 남긴 열린 문제를 해결한다. 소음이 작은 경우와 시간이 짧은 경우의 밀도 전개를 바탕으로, 부분 리만기하학과 비틀림을 고려한 방법을 사용하여, 큰 행사가격 영역에서의 임의의 볼라티리티 기울기의 정확한 형태를 도출한다. 이는 일반적인 모멘트 폭주 이론이 예측한 제곱근 점근 행동을 확인한다.

ABSTRACT

In the compagnion paper [Marginal density expansions for diffusions and stochastic volatility, part I] we discussed density expansions for multidimensional diffusions $(X^1,...,X^d)$, at fixed time $T$ and projected to their first $l$ coordinates, in the small noise regime. Global conditions were found which replace the well-known "not-in-cutlocus" condition known from heat-kernel asymptotics. In the present paper we discuss financial applications; these include tail and implied volatility asymptotics in some correlated stochastic volatility models. In particular, we solve a problem left open by A. Gulisashvili and E.M. Stein (2009).

연구 동기 및 목표

• 상관된 스틴-스틴 확률적 볼라티리티 모델에서 尾밀도 및 임의의 볼라티리티 점근 행동에 대한 열린 문제를 해결하는 것. 이 문제는 구리샤시빌리와 스틴(2009)에 의해 해결되지 않았다.
• 문헌 [17]에서 제시된 소음이 작은 밀도 전개 프레임워크를, 특히 비마르코프성 및 퇴화된 구조를 가진 상관된 확률적 볼라티리티 모델로 확장하는 것.
• 일반적인 스케일링 및 비퇴화 조건 하에서, 대규모 행사가격 영역에서 자산 가격의 마진 밀도에 대한 엄밀한 점근 공식을 수립하는 것.
• 상관된 모델에서 대규모 행사가격 극한에서 임의의 볼라티리티의 제곱근 성장 방식을 검증하여, 모멘트 폭주 이론과 일치시키는 것.
• 퇴화된 모델인 헤스톤 및 리온즈-무지엘라에서 형식적인 대규모 편차 원리의 적용이 실패할 수 있음을 보이며, 그 원리가 성립하는 조건을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 소음이 작은 경우의 밀도 전개를, $ Y_t^\epsilon = \Pi_l \circ X_t^\epsilon $ 인 프로젝션된 과정에 대해 유도한다. 여기서 $ X_t^\epsilon $ 는 $ dX_t^\epsilon = b(\epsilon, X_t^\epsilon)dt + \epsilon \sigma(X_t^\epsilon)dW_t $ 를 만족하며, $ \epsilon \downarrow 0 $ 이다.
• 비틀림이 있는 부분 리만기하학을 적용하여 소음이 작은 밀도 행동을 특성화하며, 전통적인 '컷로커스에 있지 않음' 조건을 전역적 정규성 및 비퇴화 조건으로 대체한다.
• 비상관 모델의 경우 털-화이트 공식을 기초로 하되, 확산의 생성자 및 관련 제어 문제의 기하학적·확률적 분석을 통해 이를 상관 모델로 확장한다.
• 대규모 행사가격 영역에서의 점근 형태 $ f(y,T) = e^{-c_1 y^{2/\theta}} e^{c_2 y^{1/\theta}} y^{\frac{1}{\theta}-1} (c_0 + O(1/y^{1/\theta})) $ 를 유도한다. 여기서 $ \theta = 2 $ 이다. 이는 로그 가격 밀도에 해당한다.
• 일반적인 매개변수 영역 $ \rho \in (-1,0], b \leq 0, c > 0, T > 0 $ 에서 $ \partial z_0 / \partial p \big|_\ast \neq 0 $ 를 증명함으로써 제어 문제의 비퇴화성을 검증한다. 이는 전개의 타당성을 보장한다.
• 헤스톤 및 리온즈-무지엘라 모델과 결과를 비교하여, 퇴화성 또는 부드러움의 결여로 인해 형식적인 대규모 편차 이론 적용이 실패할 수 있는 조건을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모멘트 폭주 이론이 예측한 바와 같이, 상관된 스틴-스틴 모델도 비상관 모델과 동일한 제곱근 점근 행동을 임의의 볼라티리티에서 보이는가?
• RQ2 문헌 [17]에서 제시된 소음이 작은 밀도 전개 프레임워크를, 퇴화된 확산 계수를 가진 상관된 확률적 볼라티리티 모델에 엄밀하게 적용할 수 있는가?
• RQ3 상관된 스틴-스틴 모델에서 로그 자산 가격 밀도의 꼬리에서 정확한 대수적 및 지수적 요소는 무엇인가?
• RQ4 왜 헤스톤 및 리온즈-무지엘라와 같은 모델에서 형식적인 대규모 편차 원리의 적용이 실패할 수 있으며, 어떤 조건에서 그 유효성이 회복되는가?
• RQ5 상관성이 확률적 볼라티리티 모델의 임의의 볼라티리티 기울기의 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 상관된 스틴-스틴 모델에 대한 꼬리 밀도 전개에 대한 첫 번째 엄밀한 유도를 수립하여, $ f(s) = s^{-B_1} e^{B_2 \sqrt{\log s}} (\log s)^{-1/2} (B_0 + O((\log s)^{-1/2})) $ 의 형태를 확인한다. 이는 구리샤시빌리와 스틴(2009)에서 제기된 열린 문제를 해결한다.
• 대규모 행사가격 영역에서의 임의의 볼라티리티는 $ \sigma_{BS}(k,T)^2 T = (\beta_1 \sqrt{k} + \beta_2 + o(1))^2 $ 를 만족하며, 여기서 $ \beta_1 = \sqrt{2}(\sqrt{B_1 - 1} - \sqrt{B_1 - 2}) $, $ \beta_2 = \frac{B_2}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{B_1 - 2}} - \frac{1}{\sqrt{B_1 - 1}} \right) $ 이다. 이는 시장 데이터에서 관찰된 제곱근 기울기 패tern과 일치한다.
• 모든 $ \rho \in (-1,0], b \leq 0, c > 0, T > 0 $ 에서 $ \partial z_0 / \partial p \big|_\ast \neq 0 $ 를 확인함으로써 비퇴화 조건이 검증되었으며, 이는 현실적인 금융 매개변수 영역 하에서 전개의 타당성을 보장한다.
• 해법은 헤스톤 모델의 꼬리 요소 $ y^{-3/4 + a/c^2} $ 가 $ \theta = 2 $ 스케일링 하에서 기대되는 $ y^{-1/2} $ 와 일치하지 않음을 확인한다. 유일하게 $ a = c^2/4 $ 일 때에만, 이는 스틴-스틴 형태로 축소되며 일관성이 회복된다.
• 분석은 퇴화된 모델인 헤스톤 및 리온즈-무지엘라에서, 심지어 $ \theta = 2 $ 스케일링이 존재하더라도, 분산 과정의 부드러움 부족 또는 퇴화성으로 인해 형식적인 대규모 편차 원리의 적용이 실패할 수 있음을 보여준다.