[논문 리뷰] Markov structures and decay of correlations for non-uniformly expanding dynamical systems

José F. Alves, Stefano Luzzatto외 1명|ArXiv.org|2002. 05. 17.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 컴act 다이나믹스 다변량에서 비균일하게 확장되는 시스템에 대해 마르코프 타워 구조를 수립하며, 상관관계의 감쇠 속도가 일반적인 점들이 균일하게 확장되는 데 소요되는 시간에 의해 결정됨을 보여준다. 주요 기여는 복귀 시간 尾분포와 상관관계 감쇠 사이의 정량적 연관성을 확립한 것으로, 이는 시스템의 비균일성에 따라 다항 또는 지수 혼합 속도를 도출한다.

ABSTRACT

We consider non-uniformly expanding maps on compact Riemannian manifolds of arbitrary dimension, possibly having discontinuities and/or critical sets, and show that under some general conditions they admit an induced Markov tower structure for which the decay of the return time function can be controlled in terms of the time generic points need to achieve some uniform expanding behavior. As a consequence we obtain some rates for the decay of correlations of those maps and conditions for the validity of the Central Limit Theorem.

연구 동기 및 목표

• 불연속성 또는 임계 집합을 가진 비균일하게 확장되는 다이나믹스 시스템의 통계적 성질을 이해하기 위해.
• 비균일적 확장성의 역할이 상관관계 감쇠 속도에 미치는 영향를 규명하기 위해.
• 이러한 시스템에서 중심극한정리가 성립하는 조건을 확립하기 위해.
• 시스템의 통계적 행동을 포괄하는 유도된 마르코프 타워 구조를 구성하기 위해.
• 복귀 시간의 꼬리 행동과 상관관계 감쇠 및 에르고딕 성질 사이의 관계를 규명하기 위해.

제안 방법

• 복귀 시간이 잘 정의된 마르코프 타워를 정의하기 위한 분할 알고리즘을 구축하기 위해.
• 전이 및 渐近적 거리 추정을 사용하여 반복적 적용 동안의 왜곡과 확장률을 제어하기 위해.
• 복귀 시간 함수를 정의하고 기하학적 및 측도 이론적 추정을 통해 그 꼬리 분포를 분석하기 위해.
• 유도된 사상으로 장기 복귀 시간을 가진 집합의 르베그 측도에 대한 경계를 도출하기 위해.
• 복귀 시간 꼬리의 감쇠를 활용하여 상관관계 감쇠 함수에 대한 경계를 유도하기 위해.
• 복귀 시간 분포 및 함수 공간의 정규성 제어를 통해 중심극한정리가 성립하는 조건을 설정하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일한 확장성이 비균일하게 확장되는 시스템에서 상관관계 감쇠 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 불연속성 또는 임계점이 있는 비균일하게 확장되는 사상에 대해 마르코프 타워 구조가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 복귀 시간의 꼬리 분포와 상관관계 감쇠 사이의 정밀한 관계는 무엇인가?
• RQ4 이러한 시스템에서 관측량에 대해 중심극한정리가 언제 성립하는가?
• RQ5 일반적인 점들이 균일하게 확장되는 데 소요되는 시간을 기반으로 상관관계 감쇠 속도를 정량화할 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 조건 하에서 시스템은 유도된 마르코프 타워 구조를 갖는다. 이는 통계적 성질 분석을 가능하게 한다.
• 상관관계 감쇠는 복귀 시간 분포의 꼬리에 의해 제어된다: 복귀 시간의 꼬리 감쇠가 다항적이라면, 상관관계 함수의 감쇠 역시 다항적이다.
• 복귀 시간 꼬리가 지수적으로 감쇠한다면, 상관관계 함수 역시 지수적으로 감쇠하며, 이는 강한 혼합성을 의미한다.
• 복귀 시간이 $\operatorname{Leb}(\{R > n\}) \lesssim n^{-\gamma} $ 를 만족하는 시스템에서는 상관관계 감쇠가 최소한 $\gamma$ 차수의 다항 감쇠를 보인다.
• 복귀 시간 분포가 적절한 모멘트 조건을 만족한다면, 코바운드리가 아닌 허더 연속 관측량에 대해 중심극한정리가 성립한다.
• 상관관계 감쇠 속도는 일반적으로 확장성의 비균일성 정도에 의해 결정되며, 이는 일반적인 점들이 균일하게 확장 행동을 보이기까지 필요한 초기 시간에 의해 정량화된다.