[논문 리뷰] Markov trace on a tower of affine Temperley-Lieb algebras of type $ ilde{A_{n}}$

Sadek Al Harbat|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 27.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한형 $A_n$ 텐서리-라이브 대수들로부터의 고전적 마르코프 추적의 상향화를 통해, 유형 $\tilde{A}_n$의 아핀 텐서리-라이브 대수의 탑에 대한 마르코프 추적의 존재성과 유일성을 확립한다. 이 추적은 아핀 방향 링크에 대한 조너스 다항식 유사 불변량을 정의하는 데 사용되며, 코어를 둘러싼 균형 잡힌 감도 수를 가진 솔리드 토러스 안의 링크로 조너스 다항식을 일반화한다.

ABSTRACT

We define a tower of affine Temperley-Lieb algebras of type $ ilde{A_{n}}$. We prove that there exists a unique Markov trace on this tower, this trace comes from the Markov-Ocneanu-Jones trace on the tower of Temperley-Lieb algebras of type $A_{n}$.

연구 동기 및 목표

• 유형 $\tilde{A}_n$의 일관된 아핀 텐서리-라이브 대수의 탑을 정의한다.
• 유한형 $A_n$ 텐서리-라이브 대수들에서의 고전적 마르코프 추적을 아핀 설정으로 확장한다.
• 아핀 탑에 대해 유일한 마르코프 추적을 확립하여, 유한형 추적과의 일致성을 보장한다.
• 추적을 통해 아phin 방향 링크에 대한 불변량을 정의하고, 조너스 다항식을 일반화한다.
• 추적이 마르코프 원소들과 초기 성분들에서의 값들에 의해 유일하게 결정됨을 증명한다.

제안 방법

• 아핀 웨일 군 $W(\tilde{A}_n)$ 내의 완전히 교환 가능한 원소들을 사용하여 아핀 텐서리-라이브 대수 $\tilde{TL}_n(q)$의 탑을 구성한다.
• $W(\tilde{A}_n)$이 $W(\tilde{A}_{n+1})$의 포물형 부분군이 아니라는 점을 감안하여, 연속된 대수들 사이의 준동형사상 $F_n: \tilde{TL}_n(q) \to \tilde{TL}_{n+1}(q)$를 정의한다.
• 마르코프 원소들을 $F_n(\tilde{TL}_n(q))$ 또는 $F_n(\tilde{TL}_n(q))g_{\rho_n}F_n(\tilde{TL}_n(q))$로 정의하며, 여기서 $g_{\rho_n}$는 코克斯터 생성자에 대응한다.
• 문헌 [1]에서 제공한 $\tilde{A}_n$ 아핀 웨일 군 내의 완전히 교환 가능한 원소의 분류를 활용하여, $\tilde{TL}_{n+1}(q)$ 위의 임의의 추적이 마르코프 원소에서의 값들에 의해 유일하게 결정됨을 증명한다 (정리 4.6).
• 표준 마르코프 추적을 유한형 $A_n$ 탑으로부터의 상향 사상에 의해 아핀 탑으로 올리며, 아핀 마르코프 조건을 만족함을 보인다.
• 첫 세 성분이 올린 추적과 정확히 일치해야 하며, 이를 바탕으로 정리 4.6을 이용해 귀납적으로 증명함으로써 유일성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유형 $\tilde{A}_n$의 아핀 텐서리-라이브 대수 탑에 마르코프 추적이 존재하는가?
• RQ2 무한차원적인 아핀 대수의 성격을 감안할 때, 그러한 마르코프 추적이 유일한가?
• RQ3 유한형 $A_n$ 텐서리-라이브 대수들에서의 고전적 마르코프 추적을 일관된 방식으로 아핀 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 어떻게 $\tilde{TL}_n(q)$ 위의 추적이 결정되며, 특정한 원소의 집합에서의 값들에 의해 완전히 특징지을 수 있는가?
• RQ5 이 추적을 사용하여 아핀 방향 링크에 대한 불변량을 정의할 수 있으며, 이는 조너스 다항식을 일반화하는가?

주요 결과

• 정리 5.5에 의해, 유형 $\tilde{A}_n$의 아핀 텐서리-라이브 대수 탑에 대해 고유한 마르코프 추적이 존재한다. 이를 $(\rho_i)_{i \to \tilde{A}_n}$로 표기한다.
• 정리 4.6에 의해, 추적은 $\tilde{TL}_{n+1}(q)$ 내의 마르코프 원소에서의 값들에 의해 유일하게 결정되며, 이는 $\tilde{A}_n$ 내의 완전히 교환 가능한 원소의 분류에 기반한다.
• 아핀 마르코프 추적은 $\tilde{TL}_n(q)$에서 $TL_n(q)$로의 전사 사상에 의한 고전적 마르코프 추적의 역상으로 구성된다.
• 모든 아핀 마르코프 추적의 첫 세 성분은 올린 추적과 정확히 일치하며, 이를 보여주는 데서 코로나리 5.4가 활용된다.
• 추적은 다이닝 애utomorphism에 대해 불변이며, 이는 구성의 일致성에 핵심적인 역할을 한다.
• 추적은 코어를 둘러싼 양의 감도 수와 음의 감도 수가 균형을 이루는 솔리드 토러스 안의 링크에 대해 조너스 유사 불변량을 정의한다.