[논문 리뷰] Markov traces on affine and cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras

Maria Chlouveraki, Loïc Poulain d’Andecy|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 12.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 38인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 아리키–코이케 및 요코누마–헤이크 대수의 일반화로써 애핀 및 순환 요코누마–헤이크 대수를 도입하고, 선형 기저를 구성하며, 마르코프 추적을 정의하고, 이를 통해 고체 토러스 내의 프레임드 및 고전적 끈에 대한 불변량을 생성한다. 주요 기여는 순환 요코누마–헤이크 대수에서 매개변수들이 모두 0일 때 마르코프 추적에 대한 슈어 원소를 결정하는 것이다.

ABSTRACT

In this article, we define and study the affine and cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras. These algebras generalise at the same time the Ariki-Koike and affine Hecke algebras and the Yokonuma-Hecke algebras. We study the representation theory of these algebras and construct several bases for them. We then show how we can define Markov traces on them, which we in turn use to construct invariants for framed and classical knots in the solid torus. Finally, we study the Markov trace with zero parameters on the cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras and determine the Schur elements with respect to that trace.

연구 동기 및 목표

• 애핀 및 순환 요코누마–헤이크 대수를 아리키–코이케 및 요코누마–헤이크 대수의 통합 일반화로 정의하고 연구하기.
• 조합적이고 귀납적인 방법을 사용하여 순환 요코누마–헤이크 대수의 표현 이론을 발전시키기.
• ${\rm Y}(d,m,n)$ 대수에 대한 선형 기저를 구성하고 마르코프 추적의 존재를 확립하기.
• 마르코프 추적을 사용하여 고체 토러스 내의 프레임드 및 고전적 끈에 대한 불변량을 구성하기.
• 순환 요코누마–헤이크 대수에서 모든 매개변수가 0일 때 마르코프 추적에 대한 슈어 원소를 결정하기.

제안 방법

• 애핀 및 순환 요코누마–헤이크 대수 ${\rm Y}(d,m,n)$를 데리어드 프로덕트 브레이드 군의 군 대수의 몫으로 정의하여 아리키–코이케 및 요코누마–헤이크 대수를 일반화한다.
• ${\rm Y}(d,m,n)$에 대해 $m$-테이블로 및 대칭군 작용과 같은 조합적 구조를 사용하여 명시적인 선형 기저를 구성한다.
• 기약 대수 부분에서의 추적을 확장하고 프로젝션 분해를 사용하여 ${\rm Y}(d,m,n)$에서의 마르코프 추적을 정의한다.
• 마르코프 추적을 사용하여 고체 토러스 내의 프레임드 링크에 대한 불변량을 정의하기 위해 브레이드 표현과 대수적 원소를 대응시킨다.
• 등급화 사상 $\Phi_a$를 적용하여 프로젝션을 분해하고, 부분대수로의 재귀적 분해를 통해 추적 값을 계산한다.
• 추적 공식을 재귀적으로 적용하고 부분대수 내의 원소 기저 프로젝션의 구조를 사용하여 매개변수가 0인 마르코프 추적에 대한 슈어 원소를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 애핀 및 순환 요코누마–헤이크 대수를 아리키–코이케 및 요코누마–헤이크 대수의 통합 일반화로 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 순환 요코누마–헤이크 대수 ${\rm Y}(d,m,n)$의 선형 기저와 표현 이론은 무엇인가?
• RQ3 마르코프 추적은 ${\rm Y}(d,m,n)$에서 어떻게 일관되게 정의될 수 있으며, 그 성질은 무엇인가?
• RQ4 마르코프 추적은 고체 토러스 내의 프레임드 및 고전적 끈에 대한 불변량을 어떻게 도출하는가?
• RQ5 순환 경우에서 모든 매개변수가 0으로 설정되었을 때 마르코프 추적에 관련된 슈어 원소는 무엇인가?

주요 결과

• ${\rm Y}(d,m,n)$ 대수는 아리키–코이케 대수 ${\rm H}(m,n)$ 및 요코누마–헤이크 대수 ${\rm Y}(d,n)$를 일반화하며, ${\rm Y}(1,m,n) \cong {\rm H}(m,n)$ 및 ${\rm Y}(d,1,n) \cong {\rm Y}(d,n)$이다.
• ${\rm Y}(d,m,n)$에 대한 선형 기저는 $m$-테이블로 및 대칭군 작용을 사용하여 구성되며, 아리키–코이케 및 요코누마–헤이크 대수에 대한 기존 기저를 일반화한다.
• 마르코프 추적은 재귀적 분해와 프로젝션 추적을 통해 ${\rm Y}(d,m,n)$에서 정의되며, 고체 토러스 내의 프레임드 링크에 대한 끈 불변량의 구성이 가능하다.
• 매개변수가 0인 마르코프 추적에 대한 ${\rm Y}(d,m,n)$의 슈어 원소는 $\boldsymbol{\tau}(E_{\mathcal{T}}^{\mathrm{p}} E_{\mathcal{T}}^{(1)} \cdots E_{\mathcal{T}}^{(d)}) = \frac{1}{d^n s_{\boldsymbol{\lambda}[1]} s_{\boldsymbol{\lambda}[2]} \cdots s_{\boldsymbol{\lambda}[d]}}$로 주어지며, 여기서 $s_{\boldsymbol{\lambda}[a]}$는 부분대수의 슈어 원소이다.
• 제일 블록의 원소 기저 프로젝션 $E_{\mathcal{T}}^{\mathrm{p}} E_{\mathcal{T}}^{(a)}$에 대한 추적 값은 $\frac{1}{s_{\boldsymbol{\lambda}[a]}}$이며, 이는 전체 추적을 재귀적으로 계산하는 데 사용된다.
• 이 방법은 $\Phi_a$ 등급화 사상을 통해 대수를 부분대수로 분해하고, $E_{\mathcal{T}}^{\mathrm{p}} x_a$의 분해에서 항등원의 계수를 통해 추적 값을 계산한다.