[논문 리뷰] Markov traces on the Birman-Wenzl-Murakami algebras

Iván Marín, Emmanuel Wagner|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 17.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 양자 정교/심플렉틱 dualit에 기반한 두 가지 BMW 대수의 변형을 통합하는 보편 커버 대수를 도입함으로써 Birman-Wenzl-Murakami (BMW) 대수를 통과하는 마르코프 추적을 분류한다. 일반적인 매개변수에서 BMW 대수와 동형인 보편 커버 대수를 구성하고, 특수한 매개변수에서 중심 확장을 통해 Iwahori-Hecke 대수의 중심 확장에서 이국적인 $\mathbb{Q}$-값 마르코프 추적의 존재를 증명한다. 또한 특수한 매개변수 값에서 티머리-라이브 대수의 부분대수에서 추가적인 두 가지 추적 가능성을 규명하며, 그 중 하나는 증명되고 다른 하나는 추측된다.

ABSTRACT

We classify the Markov traces factoring through the Birman-Wenzl-Murakami (BMW) algebras. For this purpose, we define a common `cover' for the two variations of the BMW-algebra originating from the quantum orthogonal/symplectic duality, which are responsible for the so-called `Dubrovnik' variation of the Kauffman polynomial. For generic values of the defining parameters of the BMW algebra, this cover is isomorphic to the BMW algebra itself, and this fact provides a shorter defining relation for it, in the generic case. For a certain 1-dimensional family of special values however, it is a non-trivial central extension of the BMW-algebra which induces a central extension of the Temperley-Lieb algebra. Inside this 1-dimensional family, exactly two values provide possibly additional Q-valued Markov traces. We describe both of these potential traces on the (extended) Temperley-Lieb subalgebra. While we only conjecture the existence of one of them, we prove the existence of the other by introducing a central extension of the Iwahori-Hecke algebra at q=-1 for an arbitrary Coxeter system, and by proving that this extension indeed admits an exotic Markov trace. These constructions provide several natural non-vanishing Hochschild cohomology classes on these classical algebras.

연구 동기 및 목표

• BMW 대수를 통과하는 모든 마르코프 추적을 분류하는 것.
• Dubrovnik 및 표준 Kauffman 다항식 변형에 기인한 BMW 대수 정의의 모호성을 해결하는 것.
• 두 가지 BMW 대수 변형을 통합하고 일반적인 경우에 더 짧은 정의 관계를 제공하는 보편 커버 대수를 구축하는 것.
• 표준 Jones 및 Kauffman 추적 외에 추가적인 $\mathbb{R}$-값 마르코프 추적의 존재를 조사하는 것.
• 중심 확장이 새로운 링크 불변량과 비영인 Hochschild 코hom로지 클래스를 생성하는 데 어떤 역할을 하는지 탐구하는 것.

제안 방법

• 두 가지 BMW 대수 변형에 모두 사상되는 보편 커버 대수 $\widetilde{BMW}_n$ 를 도입하여 Dubrovnik 및 표준 케이스를 통합한다.
• 일반적인 매개변수에서 $\widetilde{BMW}_n$ 이 BMW 대수와 동형임을 증명하고, 더 짧은 정의 관계를 도출한다.
• 특수한 매개변수 값, 특히 $y = a^2 = 1$일 때 BMW 대수의 중심 확장 $F_n$ 을 구성하여 티머리-라이브 대수의 확장을 이룬다.
• 기저 원소에서의 값으로 정의된 새로운 마르코프 추적을 확장된 티머리-라이브 대수에서 정의하고, 귀납적 관계를 통해 일관성을 증명한다.
• 임의의 코엑세르 시스템에 대해 $q = -1$에서 Iwahori-Hecke 대수의 중심 확장에서 이국적인 마르코프 추적의 존재를 증명한다.
• 이 추적을 이용해 새로운 링크 불변량을 구성하고, 10개 이하의 교차수를 가진 링크와 루프에 대해 이를 계산하며 기존의 다항식과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 Jones 및 Kauffman 추적 외에 BMW 대수에서 마르코프 추적이 존재하는가?
• RQ2 Dubrovnik 및 표준 Kauffman 다항식에 관련된 두 가지 BMW 대수 변형을 통합하는 보편 커버 대수의 구조는 어떠한가?
• RQ3 특수한 매개변수 값에서 BMW 대수의 비자명한 중심 확장이 존재하는가? 만약 존재한다면, 추가적인 마르코프 추적을 지지하는가?
• RQ4 Iwahori-Hecke 대수의 중심 확장에서 $q = -1$에서 이국적인 $\mathbb{Q}$-값 마르코프 추적을 구성할 수 있는가?
• RQ5 이러한 추적에서 유도된 새로운 불변량은 Homfly 또는 Kauffman 다항식으로 구분이 안 되는 링크를 구분할 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 매개변수에서 BMW 대수와 동형인 보편 커버 대수 $\widetilde{BMW}_n$ 가 구성되었으며, 더 짧은 정의 관계를 제공한다.
• 특수한 값 $y = a^2 = 1$에서 커버 대수 $F_n$ 는 BMW 대수의 비자명한 중심 확장이며, 이는 티머리-라이브 대수의 중심 확장을 유도한다.
• Iwahori-Hecke 대수의 중심 확장에서 $q = -1$에서 이국적인 $\mathbb{Q}$-값 마르코프 추적이 존재함을 증명하였다. 이는 새로운 불변량을 제공한다.
• 확장된 티머리-라이브 대수에서 $y = a^2 = 1$일 때 추가적인 $\mathbb{Q}$-값 마르코프 추적이 존재할 것이라 추측되지만, 아직 증명되지 않았다.
• 새로운 불변량은 Homfly 및 Kauffman 다항식이 동일한 링크, 예를 들어 $11_{280}$ 과 $11_{439}$ 를 구분한다. 값은 $x=a$일 때 각각 $85$ 와 $82$, $x=2a$일 때 각각 $22176$ 와 $22048$ 이다.
• Kanenobu의 3 브레이드 링크 네 개는 Homfly 및 Kauffman 다항식이 동일하여, $x=a$일 때 값이 모두 $84$, $x=2a$일 때 값이 모두 $734157650613659985$ 로 동일하게 나타나, 이는 HOMFLY 다항식에 의존할 가능성이 있음을 시사한다.