[논문 리뷰] Markowitz portfolio selection for multivariate affine and quadratic Volterra models

Eduardo Abi Jaber, Enzo Miller외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 22.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 25인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 비마르코프성 및 비세미마르팅글 성격을 띠는 비유계 계수를 가진 설정에서 마르코프츠의 평균-분산 포트폴리오 최적화를 다변량 아핀 및 이차 볼테라 모델으로 확장한다. 비유계 계수를 가진 비마르코프성 및 비세미마르팅글 성격을 띠는 설정에서 최적 전략을 기술하기 위해 리카티 뒤집힌 확률미분방정식(BSDE)을 도입한다. 아핀 모델의 경우 다차원 리카티-볼테라 방정식을 통해 명시적 해를 도출하고, 이차 모델의 경우 새로운 해석적 공식을 유도한다. 이는 양의 상관관계 하에서 '거친 것을 사고 매끄럽게 팔라'는 거래 전략을 드러낸다.

ABSTRACT

This paper concerns portfolio selection with multiple assets under rough covariance matrix. We investigate the continuous-time Markowitz mean-variance problem for a multivariate class of affine and quadratic Volterra models. In this incomplete non-Markovian and non-semimartingale market framework with unbounded random coefficients, the optimal portfolio strategy is expressed by means of a Riccati backward stochastic differential equation (BSDE). In the case of affine Volterra models, we derive explicit solutions to this BSDE in terms of multi-dimensional Riccati-Volterra equations. This framework includes multivariate rough Heston models and extends the results of \\cite{han2019mean}. In the quadratic case, we obtain new analytic formulae for the the Riccati BSDE and we establish their link with infinite dimensional Riccati equations. This covers rough Stein-Stein and Wishart type covariance models. Numerical results on a two dimensional rough Stein-Stein model illustrate the impact of rough volatilities and stochastic correlations on the optimal Markowitz strategy. In particular for positively correlated assets, we find that the optimal strategy in our model is a `buy rough sell smooth' one.

연구 동기 및 목표

• 거친 변동성과 스토케스틱 상관관계 하에서 다변량 비마르코프성 포트폴리오 최적화 문제에 대한 해석 가능한 해의 부족을 해결하기 위해.
• 비유계 랜덤 계수를 가진 다변량 볼테라 과정으로 마르코프츠의 평균-분산 프레임워크를 확장하기 위해.
• 아핀 및 이차 볼테라 모델에 대해 명시적인 최적 투자 전략을 도출하기 위해, 이는 거친 헤스턴, 스텐-스테인, 위샤르 유형 공분산 모델을 포함한다.
• 이차 경우에서 리카티 BSDE와 무한차원 리카티 방정식 간의 연결 고리를 확립하기 위해.
• 거친 변동성과 스토케스틱 상관관계가 최적 포트폴리오 배분에 미치는 영향을 수치적으로 입증하기 위해.

제안 방법

• 비유계 계수를 가진 비마르코프성 및 비세미마르팅글 성격을 띠는 불완전한 연속시간 마르코프츠 문제를 설정한다.
• 일반적인 필터 및 허용 조건 하에서, 최적 포트폴리오 전략을 리카티 뒤집힌 확률미분방정식(BSDE)을 통해 도출하고 검증한다.
• 아핀 볼테라 모델의 경우, 다차원 리카티-볼테라 방정식을 사용하여 해를 표현하며, 이는 이전의 단변량 결과를 확장한다.
• 이차 볼테라 모델의 경우, 리카티 BSDE에 대한 새로운 해석적 공식을 도출하고, 이를 무한차원 리카티 방정식과 연결한다.
• 리카티 BSDE를 해결하기 위해 라플라스 변환 표현을 적용한다.
• 스토케스틱 푸비니 정리와 일반화된 그로날의 부등식을 사용하여 관련 지수 국소마르팅글의 마르팅글 성격을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비마르코프성 및 비세미마르팅글 성격을 띠는 비유계 계수와 거친 변동성 하에서 마르코프츠의 평균-분산 포트폴리오 문제는 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ2 다변량 아핀 볼테라 모델에서 최적 포트폴리오 전략의 구조는 어떻게 되며, 이를 어떻게 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 다변량 이차 볼테라 모델의 경우 리카티 BSDE에 대해 새로운 해석적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ4 거친 변동성과 스토케스틱 상관관계는 다자산 설정에서 최적 투자 전략에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 리카티-볼테라 방정식은 아핀 볼테라 모델에서 최적 포트폴리오를 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 다변량 아핀 볼테라 모델에서 최적 포트폴리오 전략은 다차원 리카티-볼테라 방정식을 통해 표현되며, 이는 한과 왕(2020a)의 단변량 결과를 확장한다.
• 이차 볼테라 모델의 경우, 논문은 리카티 BSDE에 대한 새로운 해석적 공식을 도출하고, 이를 무한차원 리카티 방정식과 연결한다.
• 이중 차원 거친 스텐-스테인 모델에 대한 수치 결과는 자산 간 양의 상관관계가 '거친 것을 사고 매끄럽게 팔라'는 최적 전략을 유도함을 보여준다.
• 검증 논증에서 관련 지수 국소마르팅글의 마르팅글 성격은 노빅의 조건과 일반화된 그로날의 부등식을 사용하여 증명된다.
• 해결 프레임워크는 거친 헤스턴, 거친 스텐-스테인, 거친 위샤르 유형 공분산 모델에 적용 가능하여 이러한 복잡한 설정에서 명시적 포트폴리오 최적화를 가능하게 한다.
• 비마르코프성 및 비세미마르팅글 성격을 띠는 일반적인 프레임워크에서 비유계 계수를 가진 최적 제어의 허용성은 엄밀하게 검증되었으며, 이는 이전 검증 결과의 한계를 극복한다.