[논문 리뷰] Martingale and Weak Solutions for a Stochastic Nonlocal Burgers Equation on Bounded Intervals

Guangying Lv, Jinqiao Duan|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 28.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 갈레르킨 근사, 프로호로프의 정리, 스코로호드의 임bedding을 사용하여 유계 구간에서 스토하스틱 비국소 버거스 방정식에 대한 마팅게일 및 약한 해의 존재성을 확립한다. 비국소 라플라스 연산자 $(-\Delta)^{\alpha/2}$를 다루기 위해 기존의 분수 스파르트 공간이 유계 영역에서 실패하는 문제를 극복하기 위해 새로운 가중치가 부여된 비국소 소볼레프 공간을 도입하였으며, 이는 비국소 라플라스 연산자에 의한 경계 근처의 특이성을 효과적으로 다룰 수 있도록 한다. 또한 동일한 유계 영역에서 해당 비국소 버거스 방정식의 결정론적 대응 방정식에 대해 $L^2$-약한 해의 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

This work is about the existence of martingale solutions and weak solutions for a stochastic nonlocal Burgers equation on bounded intervals. The existence of a martingale solution is shown by using a Galerkin approximation, Prokhorov's theorem and Skorokhod's embedding theorem. The same Galerkin approximation also leads to the existence of weak solution for the corresponding deterministic nonlocal Burgers equation on a bounded domain.

연구 동기 및 목표

• 유계 구간 $D=(-1,1)$에서 비국소 라플라스 연산자 $(-\Delta)^{\alpha/2}$를 갖는 스토하스틱 비국소 버거스 방정식에 대한 마팅게일 해의 존재성을 확립한다.
• 기존의 분수 스파르트 공간의 임베딩과 하디-리틀우드-소볼레프 부등식이 실패하는 유계 영역에서 $\alpha > 1$일 경우의 문제를 해결하기 위해 새로운 가중치가 부여된 비국소 소볼레프 공간을 개발한다.
• 동일한 유계 영역에서 해당 결정론적 비국소 버거스 방정식에 대해 $L^2$-약한 해의 존재성을 증명한다.
• 비국소 연산자의 비국소성과 비선형 대류 항 $uu_x$에 대한 지배성이 부족하기 때문에, 표준적인 방법들인 인수분해 또는 에너지 추정이 실패하는 문제에 대응한다.

제안 방법

• 힐베르트 공간의 유한차원 부분공간에서 갈레르킨 근사를 적용하여 스토하스틱 비국소 버거스 방정식의 근사해를 구성한다.
• 프로호로프의 정리와 스코로호드의 임베딩 정리를 사용하여 근사해의 법칙의 약한 수렴하는 부분수열을 추출함으로써 마팅게일 해의 존재성을 보장한다.
• 경계 근처에서 비국소 연산자의 특이성을 다루기 위해 가중치 $\rho(x) = \text{dist}(x,\partial D)^{\alpha/2}$를 갖는 새로운 가중치가 부여된 비국소 소볼레프 공간 $W^{-\delta,2}_{\rho}(D)$를 도입한다.
• 컴act 임베딩 정리를 적용하여 근사해의 수열이 $L^2(0,T;H)$에서 상대적으로 컴팩트함을 보임으로써 근사해의 수렴성을 확보하고, 극한 해로의 수렴을 가능하게 한다.
• 유한차원 설정에서 이토의 공식과 에너지 추정을 사용하여 근사해의 성장률을 제어하고, 균일한 유계성을 확보한다.
• 결정론적 비국소 버거스 방정식의 약한 형태를 수립하고, 갈레르킨 근사에서의 극한을 취하여 $L^\infty(0,T;L^2(D)) \cap L^2(0,T;V)$ 내의 약한 해를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 구간에서 비국소 라플라스 연산자 $(-\Delta)^{\alpha/2}$를 갖는 스토하스틱 비국소 버거스 방정식에 대해 마팅게일 해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 기존의 분수 스파르트 공간이 실패하는 유계 영역에서 비국소 연산자 $(-\Delta)^{\alpha/2}$를 다룰 수 있는 적절한 함수 공간을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 결정론적 비국소 버거스 방정식은 $L^2$-기반 공간에서 유계 구간에서 약한 해를 갖는가?
• RQ4 비국소 확산 항이 비선형 대류 항을 지배하지 못하는 상황에서, 갈레르킨 근사와 확률적 컴팩턴스 방법을 통해 문제를 극복할 수 있는가?

주요 결과

• 갈레르킨 근사, 프로호로프의 정리, 스코로호드의 임베딩을 통해 $D=(-1,1)$에서 스토하스틱 비국소 버거스 방정식에 대한 마팅게일 해의 존재성이 입증된다.
• 동일한 갈레르킨 접근법을 사용하여 결정론적 비국소 버거스 방정식에 대해 $L^\infty(0,T;L^2(D)) \cap L^2(0,T;V)$ 내의 약한 해 존재성이 증명된다.
• 경계 근처에서 $\alpha > 1$일 경우 $(-\Delta)^{\alpha/2}$의 특이성을 효과적으로 다룰 수 있도록 핵심적인 역할을 하는 새로운 가중치가 부여된 비국소 소볼레프 공간 $W^{-\delta,2}_{\rho}(D)$가 도입된다.
• 갈레르킨 근사 수열은 $L^2(0,T;V)$에서 균일하게 유계이며, $L^2(0,T;H)$에서 상대적으로 컴팩트하므로 약한 해로의 수렴이 보장된다.
• 하디-리틀우드-소볼레프 부등식과 표준 분수 스파르트 공간의 임베딩이 일차원 유계 영역에서 $\alpha > 1$일 경우 실패하는 문제를 성공적으로 극복하였다.
• 본 증명은 비국소 연산자의 성격과 유계 영역의 특성으로 인해 적용 불가능한 콜-호프 변환 또는 인수분해 방법에 의존하지 않는다.