[논문 리뷰] Martingale-coboundary decomposition for stationary random fields

Dalibor Volný|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 24.

Probability and Risk Models참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 완전히 상호작용하는 필터링을 갖는 ℤ^d에 의해 인덱싱된 정적 랜덤 필드에 대해 마팅게일-코버던시 분해를 수립하며, 고전적인 일변도 결과를 일반화한다. 이 분해를 위한 L^p 공간(2 ≤ p < ∞)에서의 필요 및 충분 조건을 제시하며, Heyde와 Gordin의 조건을 확장하고, 새로운 약한 비례 원리와 대규모 이탈 추정치를 도출한다. 특히 d=1일 경우, 지수 꼬리 경계 exp(−c|n|^{1/3})의 순서를 포함한다.

ABSTRACT

We prove a martingale-coboundary representation for random fields with a completely commuting filtration. For random variables in L2 we present a necessary and sufficient condition which is a generalization of Heyde's condition for one dimensional processes from 1975. For Lp spaces with 2 \leq p &lt; \infty we give a necessary and sufficient condition which extends Volny's result from 1993 to random fields and improves condition of El Machkouri and Giraudo from 2016 (arXiv:1410.3062). In application, new weak invariance principle and estimates of large deviations are found.

연구 동기 및 목표

• 일변도 정적 확률과정에서의 마팅게일-코버던시 분해를 완전히 상호작용하는 필터링을 갖는 d차원 랜덤 필드로 일반화한다.
• Heyde(1975)와 Volný(1993)의 결과를 고차원으로 확장하여, L^p(2 ≤ p < ∞)에서 분해를 위한 필요 및 충분 조건을 수립한다.
• 분해를 이용하여 랜덤 필드에 대한 새로운 약한 비례 원리와 대규모 이탈 추정치를 도출한다.
• 다중차원 설정에서 Dedecker-Rio, Maxwell-Woodroofe, El Machkouri-Giraudo의 기존 조건들을 초월한다.

제안 방법

• 각 차원 q에 대해, σ-대칭군 F_l^{(q)}에 대한 직교 증분 위에 투영 기반 분해를 통해 연산자 P_j^{(q)}를 사용한다.
• 분해 f = ∑_{S⊂{1,…,d}} ∏_{q∈S^c}(I - U_{ε_q})g_S를 정의하며, 여기서 g_S는 필터링의 직교 증분에 속한다.
• 직교 마팅게일 차분 성질과 반복된 모멘트 부등식을 적용하여 부분합의 L^p 노름을 유계화한다.
• Burkholder 유형 부등식과 마르코프 부등식을 사용하여 L^p 및 오르리츠 노름에서의 대규모 이탈 추정치를 도출한다.
• ψ_α(x) = exp((x + h_α)^α) − exp(h_α^α)를 사용한 오르리츠 노름을 적용하여 지수 꼬리 경계를 확보한다.
• 분해를 적용하여 약한 비례 원리와 정밀한 꼬리 추정치를 도출하며, d=1일 경우 순서 exp(−c|n|^{1/3})를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 L^p(ℤ^d)에 속하는 f에 대해, 완전히 상호작용하는 랜덤 필드의 맥락에서 마팅게일-코버던시 분해가 성립하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 Heyde와 Gordin의 조건은 p ≥ 2인 d차원 랜덤 필드로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 분해로부터 유도되는 대규모 이탈 추정치는 무엇이며, 일변도 경우의 기존 경계와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 새로운 L^p 조건 하에서 약한 비례 원리가 성립하는가? 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ5 새로운 조건은 다중차원 설정에서 Dedecker-Rio 또는 Maxwell-Woodroofe의 기존 조건과 비교해 어떻게 되는가?

주요 결과

• L^p(2 ≤ p < ∞)에서 마팅게일-코버던시 분해를 위한 필요 및 충분 조건이 수립되었으며, Volný(1993)의 결과를 랜덤 필드로 일반화한다.
• 새로운 L^p 조건 하에서 분해는 약한 비례 원리를 암시하며, 고전적 결과를 고차원으로 확장한다.
• L^p 노름 추정치가 도출되었다: ||∑_{1≤i≤n} U_i f||_p ≤ 2^{2d} p^{d/2} |n|^{1/2} ∑_S ||g_S||_p.
• 대규모 이탈 경계가 확보되었다: μ(∑_{1≤i≤n} U_i f > x|n|) ≤ 2^{2dp} p^{dp/2} (∑_S ||g_S||_p)^p x^{-p} |n|^{-p/2}.
• d=1이고 q=2/3일 경우 꼬리 추정치는 순서 exp(−c|n|^{1/3})에 도달하며, [LV01]의 일변도 경우 정밀 경계와 일치한다.
• 오르리츠 노름 형태는 μ(∑ U_i f > x) ≤ (1+e^{h_q^q}) exp(−(x/(C|n|^{1/2} ∑ ||g_S||_{ψ_{β_q}} + h_q))^{q})를 제공하며, q=2/3일 경우 지수 감소를 보인다.