[논문 리뷰] Martingale Functional Control variates via Deep Learning

Marc Sabaté Vidales, David Šiška외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Reservoir Engineering and Simulation Methods인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 매트링게일 함수 제어 변수를 통해 편향 없는 파생상품 가격 산정을 가능하게 하는, 파라미터화된 PDE를 동시에 해결하고 해의 기울기를 계산하는 딥러닝 기반 방법을 소개한다. 매트링게일 표현 정리를 통해 신경망 근사와 몬테카를로 시뮬레이션을 조합함으로써, 최적의 네트워크 훈련이 되지 않더라도 강건한 블랙박스 성능을 달성하며, 고차원 문제(최대 100차원)에 대해서도 효과적임을 보여준다.

ABSTRACT

We develop several deep learning algorithms for approximating families of parametric PDE solutions. The proposed algorithms approximate solutions together with their gradients, which in the context of mathematical finance means that the derivative prices and hedging strategies are computed simulatenously. Having approximated the gradient of the solution one can combine it with a Monte-Carlo simulation to remove the bias in the deep network approximation of the PDE solution (derivative price). This is achieved by leveraging the Martingale Representation Theorem and combining the Monte Carlo simulation with the neural network. The resulting algorithm is robust with respect to quality of the neural network approximation and consequently can be used as a black-box in case only limited a priori information about the underlying problem is available. We believe this is important as neural network based algorithms often require fair amount of tuning to produce satisfactory results. The methods are empirically shown to work for high-dimensional problems (e.g. 100 dimensions). We provide diagnostics that shed light on appropriate network architectures.

연구 동기 및 목표

• 파라미터화된 PDE 해와 그 기울기를 동시에 근사하는 딥러닝 알고리즘을 개발한다.
• 매트링게일 표현 정리를 활용하여 신경망 기반 PDE 해법에서의 편향을 줄인다.
• 사전 지식이 제한되거나 네트워크 훈련이 최적화되지 않은 경우에도 효과적인 강건한 블랙박스 방법을 만든다.
• 신뢰할 수 있는 네트워크 아키텍처 선택을 위한 진단 도구와 함께 고차원 PDE 해(예: 100차원)를 해결할 수 있도록 한다.
• 금융수학적 응용 분야에서 파생상품 가격과 헤지 전략을 동시에 계산한다.

제안 방법

• 파라미터화된 PDE의 해와 그 기울기를 근사하기 위해 딥 네트워크를 훈련한다.
• 신경망의 기울기 추정치를 몬테카를로 시뮬레이션 프레임워크에서 제어 변수로 사용한다.
• 매트링게일 표현 정리를 적용하여 신경망 근사에서 발생하는 편향을 제거하는 제어 변수를 구성한다.
• 신경망 출력과 몬테카를로 경로를 조합하여 매트링게일 기능 제어 변수를 형성한다.
• 매트링게일 표현의 이론적 성질에 기반하여 신경망의 정확도가 떨어지는 경우에도 방법이 강건하게 유지되도록 보장한다.
• 해법에서 파생된 진단 도구를 활용하여 적절한 신경망 아키텍처 선택을 안내한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 딥 뉴럴 네트워크를 사용하여 제어 변수를 통한 편향 보정이 가능한 방식으로 PDE 해와 그 기울기를 동시에 근사할 수 있는가?
• RQ2 신경망 근사가 열악하거나 잘 튜닝되지 않은 경우에도 제안된 방법이 어떻게 강건성을 유지하는가?
• RQ3 금융 파생상품 가격 산정에서 흔한 고차원 PDE 문제(예: 100차원)를 어느 정도 잘 처리할 수 있는가?
• RQ4 매트링게일 표현 정리는 신경망 출력을 사용한 편향 없는 추정을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ5 해법에서 파생된 진단 도구는 PDE 해를 위한 효과적인 신경망 아키텍처 설계에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 매트링게일 표현 정리를 활용하여 신경망 근사에서 발생하는 PDE 해의 편향을 성공적으로 제거한다.
• 신경망이 잘 훈련되지 않은 경우에도 이 알고리즘이 사전 문제 지식이 거의 필요 없이 블랙박스로 효과적으로 기능함을 보여준다.
• 기울기 인식 네트워크 출력을 통해 파생상품 가격 산정과 헤지 전략 계산을 동시에 수행할 수 있다.
• 실험 결과는 이 방법이 고차원 문제, 특히 최대 100차원까지의 문제에 대해 효과적임을 확인한다.
• 해법에서 유도된 진단 도구는 실무에서 효과적인 신경망 아키텍처 선택을 위한 실질적인 통찰을 제공한다.