[논문 리뷰] Martingale Optimal Transport and Robust Hedging in Continuous Time

Yan Dolinsky, H. Meté Soner|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 시장에서 경로에 따라 달라지는 유럽식 옵션의 강건한 헤징과 마틴갈 유 optimal 운반 문제 사이의 캔토로비치 유형 쌍대성 관계를 수립한다. 최소 초과복제 비용이 만기 시 고정된 마진 분포를 가진 모든 마틴갈 측도에서 옵션의 기대 수익의 상한과 일치함을 증명하고, 점차적으로 이 비용에 도달하는 조각별로 일정한 포지션을 구성한다.

ABSTRACT

The duality between the robust (or equivalently, model independent) hedging of path dependent European options and a martingale optimal transport problem is proved. The financial market is modeled through a risky asset whose price is only assumed to be a continuous function of time. The hedging problem is to construct a minimal super-hedging portfolio that consists of dynamically trading the underlying risky asset and a static position of vanilla options which can be exercised at the given, fixed maturity. The dual is a Monge-Kantorovich type martingale transport problem of maximizing the expected value of the option over all martingale measures that has the given marginal at maturity. In addition to duality, a family of simple, piecewise constant super-replication portfolios that asymptotically achieve the minimal super-replication cost is constructed.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 금융 시장에서 모델 독립적 강건한 헤징과 마틴갈 최적 운반 간의 쌍대성을 수립하기 위해.
• 기초 자산에 대한 특정 확률 모델을 가정하지 않고 경로에 따라 달라지는 옵션에 대한 최소 초과복제 비용을 특성화하기 위해.
• 최소 초과복제 비용을 점차적으로 달성하는 단순한 조각별 일정한 포트폴리오의 가족을 구성하기 위해.
• 기존의 쌍대성 프레임워크를 등가 마틴갈 측도나 지배 측도 가정 없이 연속시간 설정으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 기초 자산에서의 동적 트레이딩과 바닐라 옵션에서의 정적 포지션을 사용하여 초과복제 비용의 최소화로써 강건한 헤징 문제를 수식화한다.
• 주어진 종료 시점의 마진 분포를 가진 모든 마틴갈 측도에서 상당권의 기대 수익을 최대화하는 이중 문제를 도입한다.
• 경로에 따라 달라지는 계약을 다루기 위해 정지 시간과 조각별 일정한 근사치를 사용한 가격 과정의 이산화 체계를 적용한다.
• 원래 과정과 이산화된 과정 간의 근사 오차를 제어하기 위해 프로호로프 거리와 약한 수렴 논증을 사용한다.
• 과정의 근사에서 큰 이탈의 확률을 제어하기 위해 두브의 최대 부등식과 모멘트 유계를 적용한다.
• 수렴 결과를 도출하기 위해 함수 $ G $ 에 대한 핵심 가정(가정 2.1)을 활용한다. 이 가정은 선형 성장성과 가측성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적인 가격 과정을 가진 연속시간, 모델 독립적 시장에서 최소 초과복제 비용의 이중 표현은 무엇인가요?
• RQ2 최소 초과복제 비용을 점차적으로 달성하는 단순하고 조각별 일정한 포트폴리오의 수열은 어떻게 구성할 수 있나요?
• RQ3 등가 마틴갈 측도나 지배 측도 가정 없이 강건한 헤징과 마틴갈 최적 운반 간의 쌍대성은 어느 정도 유지되나요?
• RQ4 가정 2.1을 만족하는 클래스를 초월한 일반적인 경로에 따라 달라지는 옵션으로 쌍대성이 확장될 수 있나요?
• RQ5 가격 과정의 이산화에서 근사 오차가 극한에서 어떻게 사라지는가에 대한 조건은 무엇인가요?

주요 결과

• 경로에 따라 달라지는 유럽식 옵션의 최소 초과복제 비용은 고정된 종료 시점 마진 분포를 가진 모든 마틴갈 측도에서 옵션의 기대 수익의 상한과 일치한다.
• 최소 비용을 점차적으로 달성하는 조각별 일정한 초과복제 포트폴리오의 가족이 구성되었으며, 이에 따른 오차는 증가하는 이산화 수준 $ N $ 에 대해 $ rac{1}{N} + rac{1}{N^{1/2q}} $ 의 속도로 감소한다.
• 근사 오차는 리프시츠 상수 $ L $, 상한 $ K $, 종료 수익의 $ L^p $-노름에 따라 의존하는 함수 $ f_K( heta, N) $ 로 유계화되며, $ heta $ 와 $ N $ 에 대해 명시적인 감쇠 속도를 가진다.
• 등가 마틴갈 측도나 지배 측도 가정 없이도 쌍대성이 성립하므로, 광범위한 모델 독립적 가격 설정 문제에 적용 가능하다.
• 함수들이 가정 2.1을 만족하도록 근사하고 극한을 취하는 것으로, 유계 또는 다항성장 수익에 대해서도 증명 기법을 확장할 수 있다.
• 프레임워크는 다중 자산 시장과 점프-디퓨전 과정으로 확장 가능하지만, 적절한 정지 시간과 이산화 체계의 구성은 더 복잡해진다.