[논문 리뷰] Martingale representation processes and applications in the market viability with information flow expansion

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 마링게일 표현 성질 하에서, 확장된 정보 흐름의 전면적 타당성이 드리프트 승수 가정을 함의함을 증명한다. 논문은 표현 과정의 두 가지 핵심 성질—경로별로 수직인 성분을 갖는 국소 유계성과 점진적 얇은 집합 외부에서의 유계성—과 점진적 유한 제약 조건을 도입하여 간소화된 계산을 가능하게 하고, 필터 확장 하에서 타당성을 확보하기 위해 드리프트 승수 조건이 필수적임을 증명한다.

ABSTRACT

When the extit{martingale representation property} holds, we call any local martingale which realizes the representation a extit{representation process}. There are two properties of the extit{representation process} which can greatly facilitate the computations under the extit{martingale representation property}. Actually, on the one hand, the extit{representation process} is not unique and there always exists a extit{representation process} which is locally bounded and has pathwisely orthogonal components outside of a predictable thin set. On the other hand, the jump measure of a extit{representation process} satisfies the extit{finite predictable constraint}. In this paper, we give a detailed account of these two properties. As application, we will prove that, under the extit{martingale representation property}, the extit{full viability} of an expansion of market information flow implies the extit{drift multiplier assumption}.

연구 동기 및 목표

• 마링게일 표현 성질 하에서 표현 과정의 구조적 성질을 명확히 하는 것.
• 표현 과정이 점진적 얇은 집합 외부에서 국소 유계이고 경로별로 수직인 성분을 갖도록 체계적으로 재구성할 수 있음을 보여주는 것.
• 점진적 유한 제약 조건이 점프 측도에 대해 마링게일 투영 성질을 가능하게 함을 보여주는 것.
• 마링게일 투영 성질과 점진적 유한 제약 조건 사이의 동치성을 확립하는 것.
• 마링게일 표현 성질 하에서 확장된 정보 흐름의 전면적 타당성이 드리프트 승수 가정을 함의함을 증명하는 것.

제안 방법

• 논문은 마링게일 표현 성질의 맥락에서 표현 과정을 분석하며, 그들의 경로별 수직적 구조와 국소 유계성에 초점을 맞춘다.
• 지난한 점진적 유한 제약 조건을 도입하고, 이를 마링게일 투영 성질과 연결하여 특성화한다.
• 자코드의 세미마르팅게일 이론과 점진적 쌍대 투영을 활용하여, 마링게일 투영 성질이 성립하는 조건을 유도한다.
• 논문은 특히 가설 (H′) 하에서 필터 확장을 적용하여 드리프트 승수 가정과 전면적 시장 타당성 간의 관계를 규명한다.
• 드리프트 연산자에 대한 핵심 항등식을 확립하기 위해 예측 가능 과정 $ G^{ullet}_h $ 를 구성하여 $ \Gamma(X^{ullet}_h) = G^{ullet}_h \centerdot [X^{ullet}_h, X^{ullet}_h]^{\mathbb{F}\cdot p} $ 를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마링게일 표현 성질 하에서 표현 과정은 체계적으로 재구성되어 국소 유계성과 경로별로 수직인 성분을 갖도록 할 수 있는가?
• RQ2 점진적 유한 제약 조건이 점프 측도에 대해 마링게일 투영 성질을 보장하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ3 마링게일 투영 성질은 국소 마링게일의 예측 가능 쌍대 투영의 존재성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 확대된 필터의 전면적 타당성이 드리프트 승수 가정을 함의하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 타당한 시장 모델에서 드리프트 연산자는 자산 과정의 예측 가능 이차 변동에 대한 스토케스틱 적분으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 마링게일 표현 성질 하에서 표현 과정는 항상 예측 가능 얇은 집합 외부에서 국소 유계이고 경로별로 수직인 성분을 갖도록 선택할 수 있다.
• 국소 마링게일의 점프 측도에 대한 점진적 유한 제약 조건은 마링게일 투영 성질이 성립하기 위해 필수적이고 충분하다.
• 마링게일 투영 성질은 $ W_*(\mu - \nu) $-적분 가능한 함수들의 공간이 $ M $-적분 가능한 $ H $ 에 대해 $ {}^{\top}\!H \centerdot M $ 의 집합과 일치하는 조건과 동치이다.
• 드리프트 연산자 $ \Gamma(X^{ullet}_h) $ 는 $ G^{ullet}_h \centerdot [X^{ullet}_h, X^{ullet}_h]^{\mathbb{F}\cdot p} $ 로 표현될 수 있으며, 이는 확장된 필터에서 핵심 항등식을 확립한다.
• 원래 필터가 마링게일 표현 성질을 만족할 경우, 확장된 정보 흐름의 전면적 타당성은 드리프트 승수 가정을 함의한다.