[논문 리뷰] Martingales, endomorphisms, and covariant systems of operators in Hilbert space

Dorin Ervin Dutkay, Palle E. T. Jørgensen|arXiv (Cornell University)|2004. 07. 19.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 30인용 수 52

한 줄 요약

이 논문은 마팅게일 이론과 연산자 확장 기법을 사용하여 컴act 거리 공간 위의 비가역적 내면사상으로부터 유니터리 연산자를 구성하기 위한 힐버트 공간 프레임워크를 개발한다. 유한-일대사이고 전사인 사상 $r: X \to X$와 관련된 프로젝티브 극한 공간 $X_\infty$를 정의함으로써, $X \times \Omega$ 위에서 측도를 보존하는 시프트 $S$를 구성하며, 페론-프로베니우스-루엘 연산자와 공변 시스템을 통해 $L^2$-마팅게일과 유니터리 확장을 구축한다.

ABSTRACT

We show that a class of dynamical systems induces an associated operator system in Hilbert space. The dynamical systems are defined from a fixed finite-to-one mapping in a compact metric space, and the induced operators form a covariant system in a Hilbert space of L^2-martingales. Our martingale construction depends on a prescribed set of transition probabilities, given by a non-negative function. Our main theorem describes the induced martingale systems completely. The applications of our theorem include wavelets, the dynamics defined by iterations of rational functions, and sub-shifts in symbolic dynamics. In the theory of wavelets, in the study of subshifts, in the analysis of Julia sets of rational maps of a complex variable, and, more generally, in the study of dynamical systems, we are faced with the problem of building a unitary operator from a mapping r in a compact metric space X. The space X may be a torus, or the state space of subshift dynamical systems, or a Julia set. While our motivation derives from some wavelet problems, we have in mind other applications as well; and the issues involving covariant operator systems may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 동역학계와 웨이블릿 이론에서 비가역적 내면사상으로부터 유니터리 연산자를 통합하고 일반화하는 것.
• 유한-일대사이고 전사인 사상 $r: X \to X$로부터 유도되는 프로젝티브 극한 공간 $X_\infty$에 대한 $L^2$-마팅게일의 힐버트 공간 프레임워크를 개발하는 것.
• 페론-프로베니우스-루엘 연산자를 통해 $X$ 위의 불변 측도와 경로 공간 $\Omega = \prod_\mathbb{N} \{1,\dots,N\}$ 위의 라돈 측도 $P_x$ 사이의 대응을 수립하는 것.
• 공변 조건을 만족하는 수축적 또는 등장적 연산자로부터 확장 이론을 활용한 유니터리 연산자 구축 방법을 제공하는 것.
• 연산자 대수학과 내면사상을 활용하여, 줄리 집합과 서브시프트를 포함한 더 일반적인 설정으로 다중해상 분석(MRA) 프레임워크를 확장하는 것.

제안 방법

• 유한-일대사이고 전사인 내면사상 $r: X \to X$에 대해 반복된 역상의 역극한을 통해 프로젝티브 극한 공간 $X_\infty = \varprojlim (X, r)$를 정의한다.
• 각 $x \in \tau_{\omega_x}(X)$ 이면 $S(x, \omega) = (r(x), \omega_x \omega_1 \omega_2 \dots)$로 정의되는 $X \times \Omega$ 위의 시프트 연산자 $S$를 구성한다.
• 무게 함수 $W$와 밀도 $h$를 사용하여 $\sum_k W(\tau_k(x)) h(\tau_k(x)) = h(x)$를 만족하는 전이 측도 $P_x$의 가족을 정의한다.
• 각 $x_n = \tau_{\omega_n}(x_{n-1})$ 이면 $\Psi(x_0, x_1, \dots) = (x_0, \omega_1, \omega_2, \dots)$로 정의되는 측도를 보존하는 동형사상 $\Psi: X_\infty \to X \times \Omega$를 수립한다.
• 프로젝티브 측도 $\hat{\mu}$가 $\int_{X_\infty} f \, d\hat{\mu} = \int_X \int_\Omega f \circ \Psi^{-1}(x, \omega) \, dP_x(\omega) \, d\mu(x)$를 만족함을 증명한다.
• 시프트 $S$와 측도 $P_x$를 사용하여 코프만 연산자를 통해 $L^2(X_\infty, \hat{\mu})$ 위에 유니터리 연산자를 정의함으로써, 동역학을 더 큰 힐버트 공간으로 유니터리 표현으로 옮긴다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤팩트 거리 공간 위의 비가역적 내면사상 $r: X \to X$는 어떻게 더 큰 힐버트 공간 위의 유니터리 연산자로 확장될 수 있는가?
• RQ2 유한-일대사 사상 $r$에 의해 유도되는 프로젝티브 극한의 $L^2$-마팅게일 공간 $L^2(X_\infty, \hat{\mu})$의 구조는 어떠한가?
• RQ3 페론-프로베니우스-루엘 연산자와 $X$ 위의 불변 측도는 경로 공간 $\Omega$ 위의 일관된 확률 측도 $P_x$를 어떻게 유도하는가?
• RQ4 공변 연산자 시스템과 상호연결 연산자가 등장적 또는 수축적 연산자를 유니터리로 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 힐버트 공간 확장 기법을 통해 표준적인 $L^2(\mathbb{R})$ 설정을 초월하여 줄리 집합, 서브시프트, 솔레노이드를 포함한 다중해상 분석(MRA) 프레임워크를 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 사상 $\Psi: X_\infty \to X \times \Omega$는 가측적이고 전단사이며, 프로젝티브 극한 공간과 곱공간 사이의 측도론적 동형사상을 수립한다.
• $x \in X$에 대해 $\Omega$ 위의 측도 $P_x$는 잘 정의되어 있으며, 제한된 측도 가능 함수 $f$가 처음 $n$ 개의 좌표에만 의존할 경우 $\int_\Omega f(\omega) \, dP_x(\omega) = \sum_{\omega_1, \dots, \omega_n} W^{(n)}(\tau_{\omega_n} \dots \tau_{\omega_1}(x)) h(\tau_{\omega_n} \dots \tau_{\omega_1}(x)) f(\omega_1, \dots, \omega_n)$를 만족한다.
• $X \times \Omega$ 위의 시프트 연산자 $S$는 $\Psi \circ \hat{r} \circ \Psi^{-1} = S$를 만족함으로써, $X_\infty$ 위의 동역학이 $X \times \Omega$ 위의 시프트와 동형임을 보여준다.
• $X_\infty$ 위의 프로젝티브 측도 $\hat{\mu}$는 $\int_{X_\infty} f \, d\hat{\mu} = \int_X \int_\Omega f \circ \Psi^{-1}(x, \omega) \, dP_x(\omega) \, d\mu(x)$로 특징지어지며, $X$ 위의 불변 측도와 $X \times \Omega$ 위의 곱측도를 연결한다.
• $S$에 관련된 코프만 연산자는 $L^2(X_\infty, \hat{\mu})$ 위에서 유니터리이며, $X$ 위의 동역학에 대한 유니터리 확장을 제공한다.
• 이 구성은 웨이블릿과 반복 함수 시스템(IFS)을 위한 $C^*$-대수적 프레임워크를 제공하며, $L^2$-마팅게일 공간은 고전적 설정을 초월한 다중해상 분석을 위한 자연스러운 힐버트 공간이 된다.