[논문 리뷰] MASA's and certain type I closed faces of C*-algebras

Lawrence G. Brown|ArXiv.org|2007. 08. 16.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 C*-대수에서 최대아벨자기수반부분대수(MASA)에 관한 결과를 일반화하며, MASA가 분리 가능한 C*-대수를 계승적으로 생성하고, 각 순수 상태가 MASA로 제한될 때 유일한 연장 성질을 가짐을 보장하는 조건을 설정한다. 핵심 기여는 전순서로 분리된, 제2가산이며 국소콤팩트 하우스도르프 공간 X와 이중체 내의 직교 최소 프로젝션을 포함하는 충분조건을 제시함으로써, X의 컴팩트 부분집합에 관련된 닫힌 프로젝션들이 MASA의 이중체에 속해 있음을 보장하는 데 있다.

ABSTRACT

A result of Akemann, Anderson, and Pedersen states that if a sequence of pure states of a C*-algebra A approaches infinity in a certain sense, then there is a MASA B such that each of the states has the unique extension property with respect to B. We generalize this in two ways: We prove that B can be required to contain an approximate identity of A, and we show that the discrete space which underlies the result cited can be replaced with a totally disconnected space. We consider two special kinds of type I closed faces, both related to the above, atomic closed faces and closed faces with nearly closed extreme boundary. One specific question is whether an atomic closed face always has an "isolated point". We give a counterexample for this and also show that the answer is yes if the the atomic face has nearly closed extreme boundary. We prove a complement to Glimm's theorem on type I C*-algebras which arises from the theory of type I closed faces. One of our examples is a type I closed face which is isomorphic to a closed face of every non-type I separable C*-algebra and which is not isomorphic to a closed face of any type I C*-algebra.

연구 동기 및 목표

• 비유니탈 C*-대수에서 Akemann, Anderson, Pedersen의 MASA 결과를 강화하여, MASA가 대수를 계승적으로 생성함을 보장하는 것.
• 특히 A˜의 역할을 분석함으로써, [5]에서 구성된 MASA가 언제 A에서 계승적으로 생성 가능할지를 조사하는 것.
• 이를 위해 이산 공간에서의 MASA 결과를 ℕ ∪ {∞}와 같은 비이산적이고 국소콤팩트이며 전순서로 분리된 공간으로 일반화하는 것.
• 산산이 흩어진 C*-대수 이론에 영감을 받은, 프로젝션의 닫힌 면에서 고립점의 존재성을 연구하는 것.
• 특히 바리센터 공식과 닫힌 프로젝션과의 관계에서 C*-대수에서의 유형 I 닫힌 면의 개념을 도입하고 분석하는 것.

제안 방법

• 비유니탈 C*-대수 A의 유니티제이션 Â를 사용하여, A 내에서 계승적으로 생성하는 MASA B의 존재를, 항등원을 포함하는 Â 내의 MASA B₁과 연결하는 것.
• 프로젝션에 대한 q연속성과 강한 q연속성 개념을 적용하여, A** 내의 원소들의 상대 연속성 분석을 위해 [7]과 [11]의 결과를 활용하는 것.
• 거의 닫힌 극한 경계(NCEB) 조건 도입: 어떤 t ∈ (0,1]에 대해 [P(A) ∩ F(p)]⁻ ⊆ {0} ∪ [t,1]P(A)를 만족함으로써, 순수 상태 공간의 폐포에서 국소콤팩트 하우스도르프 공간 X로의 적절한 닫힌 사상이 존재함을 보장하는 것.
• NCEB 조건과 pA*p의 노름 분리 가능성 조건 하에서, 공간 X가 가산적이고 따라서 산산이 흩어진다는 것을 증명함으로써, X의 닫힌 부분집합에 대한 닫힌 프로젝션을 구성하는 것.
• 직접 적분 이론과 W*-대수의 구조를 활용하여, X의 닫힌 부분집합이 A** 내에서 닫힌 프로젝션을 유도함을 보이는 것.
• 프로젝션 p가 바리센터 공식과 조건 (G)를 만족하면, p는 유형 I임을 증명함. 이는 5절의 결과와 pA**p가 W*-대수로 구성되어 있음을 활용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유니탈 C*-대수에서 MASA가 순수 상태에 대해 고유 연장 성질을 유지하면서도 대수를 계승적으로 생성하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 A의 유니티제이션 Â 내에서 MASA의 존재는 언제 A 내에서 계승적으로 생성하는 MASA의 존재를 암시하는가?
• RQ3 노름 분리 가능성을 갖는 pA*p를 가진 A** 내의 모든 닫힌 프로젝션 p에 대해, p−p₀이 닫혀지도록 하는 최소 프로젝션 p₀이 존재하는가?
• RQ4 순수 상태 공간에 어떤 위상적 조건이 성립하면, 순수 상태의 동치류가 국소콤팩트 하우스도르프 공간 X로의 적절한 닫힌 사상으로 유도되는가?
• RQ5 특히 바리센터 공식과 pA**p의 구조와 관련하여, C*-대수의 닫힌 면 F(p)가 언제 유형 I가 되는가?

주요 결과

• X가 전순서로 분리된, 제2가산이며 국소콤팩트 하우스도르프 공간이고, 모든 컴팩트 S ⊆ X에 대해 ∑ₓ∈S pₓ가 닫혀 있을 경우, 분리 가능한 C*-대수 A 내에 MASA B가 존재하며, B는 A를 계승적으로 생성하고 각 φₓ|B는 고유 연장 성질을 가짐을 보장한다.
• NCEB 조건은 P(A) ∩ F(p) 상의 동치 관계가 국소콤팩트 하우스도르프 공간 X로의 적절한 닫힌 사상으로 유도되며, pA*p가 노름 분리 가능하면 X는 가산적이고 따라서 산산이 흩어진다.
• 바리센터 공식과 조건 (G)를 만족하는 닫힌 프로젝션 p에 대해, p는 유형 I이며, pA**p는 유형 I W*-대수임을 의미한다.
• pA*p가 노름 분리 가능하고 X가 가산적이라면, p의 모든 0이 아닌 닫힌 부분프로젝션은 p′−p₁이 닫혀지도록 하는 최소 프로젝션 p₁을 포함한다.
• pAp가 {x ∈ B(H₀) : x − (xv₀,v₀)I_{H₀} ∈ K(H₀)}로 식별될 경우, 그 이중공간은 자명하게 트레이스 클래스 연산자 T(H₀)와 등거리이며, 노름은 트레이스 쌍대성에 의해 주어진다.
• pAp는 B(H₀)와 같지 않지만, 항등원의 스칼라 배수에서의 편차가 컴팩트인 연산자들로 이루어져 있으며, 이 구조는 쌍대성 하에서도 유지된다.