[논문 리뷰] Mass and energy conservative high order diagonally implicit Runge--Kutta schemes for nonlinear Schrödinger equation in one and two dimensions

Ziyuan Liu, Hong Zhang외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 30.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1차원 및 2차원 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 질량 및 에너지 보존을 달성하기 위해 불변 에너지 제곱화(IEQ) 접근법을 사용하는 고차수 대각형 은닉 룬게쿠타(DIRK) 스킴을 제안한다. 이 방법은 고차수 DIRK 시간 적분기와 푸리에 가짜스펙트럴 공간 이산화를 조합하여, 최대 5차 수렴, 엄격한 질량 및 에너지 보존(오차 <10⁻¹⁴), 그리고 수치 실험에서의 장기 안정성을 보여준다.

ABSTRACT

We present and analyze a series of conservative diagonally implicit Runge--Kutta schemes for the nonlinear Schrödiner equation. With the application of the newly developed invariant energy quadratization approach, these schemes possess not only high accuracy , high order convergence (up to fifth order) and efficiency due to diagonally implicity but also mass and energy conservative properties. Both theoretical analysis and numerical experiments of one- and two-dimensional dynamics are carried out to verify the invariant conservative properties, convergence orders and longtime simulation stability.

연구 동기 및 목표

• 1차원 및 2차원 비선형 슈뢰딩거 방정식(NLS)에 대해 고차수, 에너지 및 질량 보존 시간 적분기를 개발한다.
• 비선형 항을 포함한 NLS의 장기 시뮬레이션에서 질량과 에너지를 동시에 보존하는 데 도전하는 문제를 다룬다.
• 불변 에너지 제곱화(IEQ) 접근법과 대각형 은닉 룬게쿠타(DIRK) 스킴을 조합하여 임의의 고차수 정확도를 달성하면서도 보존 법칙을 유지하는 방법을 개발한다.
• 반연속 및 전연속 시스템의 보존 성질을 엄밀히 증명한다.
• 수렴, 보존, 특이점 포착 성능을 검증하기 위해 수치 실험을 통해 방법의 성능을 검증한다.

제안 방법

• 비선형 슈뢰딩거 방정식을 재구성하여 에너지가 이차형 구조를 가지는 등가 시스템으로 변환하기 위해 불변 에너지 제곱화(IEQ) 접근법을 적용한다. 이는 비선형 항의 반명시적 처리를 가능하게 한다.
• 공간 도함수를 푸리에 가짜스펙트럴 방법으로 이산화하여, 스펙트럴 정밀도를 확보하고 공간에서 PDE의 구조를 유지한다.
• 시간에 대해 2차에서 5차까지의 대각형 은닉 룬게쿠타(DIRK) 스킴을 사용하여 고차수 정밀도와 A-안정성을 확보하면서도 대각형 구조를 유지하여 효율적인 해법을 확보한다.
• 단계 값이 특정 대수적 조건(M=0)을 만족할 경우 반연속 및 전연속 시스템이 질량과 에너지를 보존한다는 것을 증명한다.
• IEQ 재구성 기법을 사용하여 원래의 NLS를 시간 적분기가 에너지를 보존하는 수정된 에너지를 가지는 시스템으로 변환한다.
• 주기적 경계 조건과 복소수 해를 포함한 1D 및 2D NLS 방정식에 대해 스킴을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 슈뢰딩거 방정식의 시간 적분에서 질량과 에너지를 모두 보존하는 고차수 대각형 은닉 룬게쿠타 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 불변 에너지 제곱화(IEQ) 접근법이 임의의 다항식 비선형성을 가진 NLS에 대해 보존성과 고차수 정확도를 동시에 확보하는 시간 적분기를 구성하는 데 기여하는가?
• RQ3 제안된 IEQ-DIRK 스킴의 시간 수렴 차수는 얼마이며, 장기 시뮬레이션에서의 성능은 어떠한가?
• RQ4 IEQ-DIRK 스킴은 NLS 방정식 해의 특이점과 급격한 기울기를 정확히 포착할 수 있는가?
• RQ5 장기 시뮬레이션 동안 질량 및 에너지 오차는 어떻게 변화하며, 기계 정밀도 수준에서 유지될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 IEQ-DIRK 스킴은 시간 단계 크기 대비 $L^2$ 오차의 로그-로그 플롯을 통해 최대 5차 수렴을 보임을 확인하였다.
• 모든 테스트된 스킴(2차에서 5차)에서 질량 및 에너지 오차는 수치적으로 무시할 만큼 작고($10^{-14}$ 이하), 기계 정밀도 수준에서 완벽한 보존을 확인하였다.
• 장기 안정성을 유지함을 입증하기 위해 $T=1000$ 및 $ riangle t = 0.01$ 조건에서 시뮬레이션을 수행한 결과, 질량 및 에너지 오차는 유한하고 기계 정밀도 수준을 유지하였다.
• 2D NLS에서의 특이 해의 역학을 정확히 포착하였으며, $|u_t|$의 급격한 변화도 잘 반영하였고, 질량 및 에너지 오차는 잘 통제되어 있었다.
• 1D 이동파 해에 대한 수치 결과는 IEQ-DIRK(2,2) 및 IEQ-DIRK(4,4)가 정확한 솔리톤 프로파일을 고정밀도로 재현함을 확인하였다.
• 이론적 증명을 통해 조건 $M = oldsymbol{0}$이 IEQ-DIRK 스킴이 질량과 에너지를 보존하기 위해 필수적이고 충분한 조건임을 입증하였으며, 핵심 분석 기반을 확립하였다.