[논문 리뷰] Mass at zero in the uncorrelated SABR model and implied volatility asymptotics

Archil Gulisashvili, Blanka Horvath외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 37인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 상관관계가 없는 SABR 모델(ρ=0)에서 질량이 0일 경우의 접근 가능한 점근적 표현을 유도하며, 특히 시간이 작거나 클 경우에 해당하며, 이를 바탕으로 근시적 가격형성 없는 소스팅크임의 변동성 전개를 도출한다. 주요 기여는 표준 SABR 근사의 정확도에 영향을 미치는 질량이 0일 경우의 영향을 엄밀하게 정량화한 데 있다. 특히 전통적인 공식이 붕괴되는 저금리 또는 장기 만기 설정에서 특히 그렇다.

ABSTRACT

We study the mass at the origin in the uncorrelated SABR stochastic volatility model, and derive several tractable expressions, in particular when time becomes small or large. As an application--in fact the original motivation for this paper--we derive small-strike expansions for the implied volatility when the maturity becomes short or large. These formulae, by definition arbitrage free, allow us to quantify the impact of the mass at zero on existing implied volatility approximations, and in particular how correct/erroneous these approximations become.

연구 동기 및 목표

• 표준 SABR 임의의 변동성 근사의 정확도에 영향을 미치는 0일 경우의 질량의 영향을 정량화하는 것.
• 소규모 및 대규모 시간에서 상관관계가 없는 SABR 모델(ρ=0)에서 P(X_T = 0)에 대한 접근 가능한 점근적 표현을 도출하는 것.
• 0일 경우의 분포의 특이 부분을 통합하여 근시적 가격형성 없는 소스팅크임의 변동성 전개를 제공하는 것.
• SABR 모델에서 0일 경우의 질량에 대해 사다리점 근사 및 부트스트랩 기법의 사용을 정당화하는 것.
• 표준 SABR 점근적 해가 극단적인 모델 파rameter 설정에서 실패하는 이유를 명확히 하는 것, 특히 β→0 또는 ν가 클 경우에 해당한다.

제안 방법

• 시간 변화 기법을 사용하여 상관관계가 없는 경우(ρ=0) SABR 과정의 분포를 유도하며, 특히 0일 경우의 특이 부분에 집중한다.
• 소규모 또는 대규모 시간의 극한에서 점근적 전개를 활용하여, 사다리점 근사 방법을 사용해 0일 경우의 질량을 추정한다.
• 로그 점근적 영역에서 정확도를 향상시키기 위해 사다리점 방정식의 근사를 반복적으로 개선하는 부트스트랩 기법을 활용한다.
• y가 시간과 모델 파rameter와 관련된 바에 따라 log(1/y)와 y에 대한 P(X_T = 0)의 명시적 점근적 전개를 유도한다.
• 고차항을 비교하고 로그 보정을 통해 상대 오차를 통제하여 근사의 오차 범위를 검증한다.
• 결과로 도출된 0일 경우 질량 표현을 사용하여, 본질적으로 근시적 가격형성 없는 소스팅크임의 변동성 전개를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상관관계가 없는 SABR 모델에서 0일 경우의 질량은 소규모 및 대규모 만기에서 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ2 저금리 또는 장기 만기 시장에서 0일 경우의 질량이 표준 SABR 임의의 변동성 근사의 정확도를 어느 정도 무너뜨리는가?
• RQ3 상관관계가 없는 SABR 모델에서 사다리점 및 부트스트랩 기법을 사용해 P(X_T = 0)에 대한 접근 가능한 점근적 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 0일 경우의 질량을 적절히 고려할 경우, 임의의 변동성 전개의 주요 항 및 고차항 보정은 어떻게 변화하는가?
• RQ5 극단적인 모델 파rameter 설정에서 0일 경우의 질량이 기존 SABR 근사의 정확도에 미치는 정량적 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 상관관계가 없는 SABR 모델에서 0일 경우의 질량은 y가 시간의 역수이므로, y³ / log(y)² 비례로 점근적으로 스케일링된다.
• 0일 경우 질량의 주요 항 점근적 행동는 M_y ~ y³ / (2 log(y)²) [1 + o(1)]로 기술되며, log|log(y)| / log(y)를 포함한 보정 항이 있다.
• 0일 경우 질량에 대한 사다리점 근사는 부트스트랩을 통해 검증되었으며, 상대 오차는 O(log(y)² √y)로 제한되며, y→0일 때 감소한다.
• 유도된 소스팅크임의 변동성 전개는 0일 경우의 분포의 특이 부분을 고려하므로 본질적으로 근시적 가격형성 없는 성격을 갖는다.
• 표준 SABR 점근적 공식은 0일 경우 질량이 상당히 존재할 경우, 특히 ν가 클 때 또는 β가 0에 가까울 경우 붕괴되며, 이 실패는 모델의 특이 행동에 의해 정량적으로 설명된다.
• 결과는 음의 금리 환경에서 0일 경우 질량이 경험적으로 관련성이 있는 만큼, 혼합 SABR 모델(ρ=0 및 β=0 사례의 조합)의 사용을 지지한다.