[논문 리뷰] Massive particles coupled with 2+1 dimensional gravity and noncommutative field theory

Yuya Sasai, Naoki Sasakura|ArXiv.org|2009. 02. 20.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 2+1차원 아인슈타인 중력에서 스핀이 없는 질량 있는 입자와 리 대칭 비틀림 시공간에서의 로렌츠 부류 비아贝尔 양자장 이론 간의 관계를 조사한다. 입자들의 운동량 공간이 $SL(2,R)/Z_2$와 동형이 되는 것은 양의 질량과 총 에너지가 $1/(4G)$ 이하일 때만 제한 조건 하에 성립하지만, 전체 운동량 공간은 음의 에너지 상태를 포함하며, 이는 비아贝尔 양자장 이론이 수용하지 못한다. 따라서 비아贝尔 양자장 이론은 2+1차원 중력에서 질량 있는 입자에 대한 완전한 효과적 양자장 이론이 아니다.

ABSTRACT

Recently, it has been shown that the effective field theory of the Ponzano-Regge model with which spinless massive particles are coupled is given by three dimensional Euclidean noncommutative scalar field theory in the Lie algebraic noncommutative space [x^i, x^j]=2i kappa epsilon^{ijk}x_k (i,j,k=1,2,3) with kappa=4 pi G, where G is a gravitational constant. We examine whether there exists the relation between spinless massive particles coupled with 2+1 dimensional Einstein gravity and the Lorentzian version of the noncommutative field theory. Then, we point out that the momentum space of the spinless massive particles in 2+1 dimensional Einstein gravity is generally different from that of the noncommutative field theory, which is given by SL(2,R)/Z_2 group space.

연구 동기 및 목표

• 리 대칭 비틀림 시공간에서의 로렌츠 부류 비아贝尔 양자장 이론 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j] = 2i\kappa \epsilon^{ijk} \hat{x}_k$ 가 2+1차원 아인슈타인 중력에서 스핀이 없는 질량 있는 입자의 양자역학적 역학을 기술하는지 규명하는 것.
• 다양한 질량과 에너지 조건 하에서 2+1차원 중력에서 질량 있는 입자의 운동량 공간의 구조를 분석하는 것.
• 비아贝尔 양자장 이론에서 알려진 바와 같이 $SL(2,R)/Z_2$ 군 공간이 2+1차원 중력에서 질량 있는 입자의 운동량 공간을 완전히 기술하는지 평가하는 것.
• 2+1차원 양자 중력의 맥락에서 비아贝尔 양자장 이론이 보존성과 양자역학 원칙에 부합하는지 평가하는 것.

제안 방법

• 운동하는 질량 있는 입자 해를 도출하기 위해 시공간 점들을 회전 행렬 $\Omega(\beta)$ 에 따라 식별하는 기하학적 접근을 사용한다.
• 2+1차원 중력의 초전도체 형식을 적용하여 질량 있는 입자의 운동량 공간의 구조를 유도하고, 특정 조건 하에서 $SL(2,R)/Z_2$ 와 동형임을 규명한다.
• $SL(2,R)$ 군 원소 $g = e^{i\kappa k \cdot \tilde{\sigma}}$ 를 사용하여 운동량 공간의 매개변수화를 유도하며, $\tilde{\sigma}^i$ 는 $SL(2,R)$ 리 대칭 대수의 생성자이다.
• 2+1차원 중력에서 질량 있는 입자의 운동량 공간과 비아贝尔 양자장 이론의 운동량 공간을 비교한다. 이 이론 또한 $SL(2,R)/Z_2$ 운동량 공간을 갖는다.
• 에너지 한계 분석: 상한 $m \leq 1/(4G)$ 는 $\beta < \pi$ 를 만족시켜 구면 기하학이 잘 정의되도록 하는 조건에서 유도된다.
• 모든 음의 에너지 상태를 수용할 수 있는 전체 운동량 공간으로서 $SL(2,R)/Z_2$ 의 보편 덮개를 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 대칭 비틀림 시공간에서의 로렌츠 부류 비아贝尔 양자장 이론 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j] = 2i\kappa \epsilon^{ijk} \hat{x}_k$ 는 2+1차원 아인슈타인 중력에서 스핀이 없는 질량 있는 입자의 양자역학적 역학을 기술하는가?
• RQ2 2+1차원 중력에서 질량 있는 입자의 운동량 공간이 $SL(2,R)/Z_2$ 와 동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 $SL(2,R)/Z_2$ 운동량 공간이 2+1차원 중력에서 질량 있는 입자의 전체 상태 스펙트럼을 기술하지 못하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 2+1차원 양자 중력에 질량 있는 입자가 포함된 경우, $SL(2,R)/Z_2$ 운동량 공간을 갖는 비아贝尔 양자장 이론이 일관된 효과적 양자장 이론이 될 수 있는가?
• RQ5 특히 음의 에너지 상태가 允허된 경우, 2+1차원 중력에서 질량 있는 입자의 전체 운동량 공간의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 2+1차원 아인슈타인 중력에서 스핀이 없는 질량 있는 입자의 운동량 공간은 입자 질량이 양이며 총 에너지가 $1/(4G)$ 이하일 때만 $SL(2,R)/Z_2$ 와 동형이다.
• 2+1차원 중력에서는 임의의 음의 질량 해가 허용되며, 이는 $SL(2,R)/Z_2$ 를 초월하는 운동량 공간의 구조를 초래한다. 이는 음의 에너지 상태를 배제하기 때문이다.
• 리 대칭 비틀림 시공간에서의 비아贝尔 양자장 이론 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j] = 2i\kappa \epsilon^{ijk} \hat{x}_k$ 는 $SL(2,R)/Z_2$ 운동량 공간을 갖지만, 이는 2+1차원 중력에서 질량 있는 입자의 전체 운동량 공간을 반영하지 못한다.
• 이전 연구에서 비아贝尔 양자장 이론이 비보존성일 수 있음을 보였기에, 이는 2+1차원 양자 중력에서 질량 있는 입자를 포함하는 효과적 양자장 이론으로서의 타당성을 떨어뜨린다.
• 모든 음의 에너지 상태를 수용할 수 있는 $SL(2,R)/Z_2$ 의 보편 덮개는 2+1차원 중력에서 질량 있는 입자의 전체 운동량 공간으로서 후보가 될 수 있으나, 에너지 상한의 물리적 해석은 여전히 명확하지 않다.
• 결과적으로 비아贝尔 양자장 이론은 운동량 공간이 불일치하고 보존성 문제의 가능성이 있어, 2+1차원 중력에 질량 있는 입자가 결합된 경우 올바른 효과적 양자장 이론이 아님을 시사한다.