[논문 리뷰] Masur-Veech volumes, frequencies of simple closed geodesics and intersection numbers of moduli spaces of curves

Vincent Delecroix, Élise Goujard외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 22.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 56인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 델 데네-무어포드 컴actsification에서 ψ-클래스의 교차수를 이용하여 극형식의 다항식 공식을 유도함으로써, 단순 극을 가진 미르코메르포프-비치 복소수의 모듈리 공간에 대한 마수르–비치 체적과 영역 시겔–비치 상수를 유도한다. 이는 단순 폐쇄 지오데식의 빈도와 고정된 ц리클 디컴포지션을 가진 정사각형 타일링 표면의 체적 기여 사이에 깊은 연결을 수립하며, 이러한 빈도가 종수 및 구멍 수에 따라 달라지는 정규화 인자에 의해 일치함을 증명한다.

ABSTRACT

We express the Masur-Veech volume and the area Siegel-Veech constant of the moduli space of meromorphic quadratic differential with simple poles as polynomials in the intersection numbers of psi-classes supported on the boundary cycles of the Deligne-Mumford compactification of the moduli space of curves. Our formulae are derived from lattice point count involving the Kontsevich volume polynomials that also appear in Mirzakhani's recursion for the Weil-Petersson volumes of the moduli space of bordered hyperbolic Riemann surfaces. A similar formula for the Masur-Veech volume (though without explicit evaluation) was obtained earlier by Mirzakhani through completely different approach. We prove further result: up to an explicit normalization factor depending only on the genus and on the number of cusps, the density of the orbit of any simple closed multicurve computed by Mirzakhani coincides with the density of square-tiled surfaces having horizontal cylinder decomposition associated to the simple closed multicurve. We study the resulting densities in more detail in the special case when there are no cusps. In particular, we compute explicitly the asymptotic frequencies of separating and non-separating simple closed geodesics on a closed hyperbolic surface of genus g for all small genera g and we show that in large genera the separating closed geodesics are exponentially less frequent. We conclude with detailed conjectural description of combinatorial geometry of a random simple closed multicurve on a surface of large genus and of a random square-tiled surface of large genus. This description is conditional to the conjectural asymptotic formula for the Masur-Veech volume in large genera and to the conjectural uniform asymptotic formula for certain sums of intersection numbers of psi-classes in large genera.

연구 동기 및 목표

• 모듈리 공간 $\mathcal{Q}_{g,n}$ 의 마수르–비치 체적과 영역 시겔–비치 상수를 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 의 경계 사이클에서 ψ-클래스의 교차수에 대한 다항식으로 표현하는 것.
• 정수 측정 라미네이션 공간 내 단순 폐쇄 다중곡선 오비트의 밀도와 고정된 원통 분해를 가진 정사각형 타일링 표면의 상대 체적 기여 사이의 대응을 수립하는 것.
• 종수 $g$ 인 폐쇄 하이퍼볼릭 표면에서 분리형 및 비분리형 단순 폐쇄 지오데식의 渐近 빈도를 계산하는 것, 특히 작은 및 큰 종수에서의 경우.
• 대규모 종수에서 무작위 단순 폐쇄 다중곡선과 무작위 정사각형 타일링 표면의 통계 기하학적 구조에 대한 추측적 기술을 제공하는 것, 체적과 교차수의 渐近 추측에 기초하여.
• 일원통 정사각형 타일링 표면의 체적 기여의 추측적 渐近 행동과 그가 파oisson 유형 분포와의 관계에 대한 수치적 및 분석적 증거를 제공하는 것.

제안 방법

• 컨체비치 체적 다항식 $N_{g,n}(b_1,\dots,b_n)$ 을 활용하여 마수르–비치 체적을 표현함. 이는 미르자카니의 위엘–피터슨 체적에 대한 재귀식과도 관련됨.
• 삼중도(metric ribbon graph)에 대한 격자점 수 계산 기법을 적용하여 젠킨스–스트레벨 미분과 원통 분해를 모델링함.
• 안정 그래프와 리본 그래프의 형식을 이용하여 이차 미분형과 그 분해의 조합적 유형을 표현함.
• 표준 체적 형식에 의해 유도되는 심플렉틱 구조를 이용하여 모듈리 공간 위의 적분을 통해 체적 및 시겔–비치 상수 공식을 유도함.
• 다중 조화 합의 재귀관계와 渐近 전개를 활용하여 정규화된 상관관계와 체적 기여의 대규모 종수 행동을 분석함.
• 실험적 통계와 이론적 예측을 비교함. $g \leq 9$ 와 $g=26$ 의 수치 데이터를 사용하여 $k$-원통 정사각형 타일링 표면의 예측을 검증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 의 경계에서 ψ-클래스의 교차수에 대한 다항식으로 마수르–비치 체적 $\operatorname{Vol}\mathcal{Q}_{g,n}$ 을 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 정수 측정 라미네이션 공간 내 단순 폐쇄 다중곡선 $\gamma$ 의 빈도와 수평 원통 분해가 형식 $\gamma$ 를 가진 정사각형 타일링 표면의 체적 기여 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 종수 $g$ 인 폐쇄 하이퍼볼릭 표면에서 $g \to \infty$ 일 때 분리형 및 비분리형 단순 폐쇄 지오데식의 渐近 빈도는 어떻게 되는가?
• RQ4 대규모 종수에서 일원통 정사각형 타일링 표면의 체적 기여는 어떻게 渐近 행동을 보이며, 파oisson 분포와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 추측된 渐近 체적 및 교차수 공식에 기초하여, 대규모 종수에서 무작위 단순 폐쇄 다중곡선과 무작위 정사각형 타일링 표면의 조합적 및 기하학적 구조는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 마수르–비치 체적 $\operatorname{Vol}\mathcal{Q}_{g,n}$ 과 영역 시겔–비치 상수 $c_{\text{area}}(\mathcal{Q}_{g,n})$ 는 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 의 경계 사이클에서 ψ-클래스의 교차수에 대한 다항식으로 표현되며, 명시적인 정규화 인자가 포함되어 있음.
• 모든 단순 폐쇄 다중곡선 $\gamma$ 에 대해, 그 오비트가 $\mathcal{ML}_{g,n}(\mathbb{Z})$ 내에서의 밀도는 고정된 수평 원통 분해 형식 $\gamma$ 를 가진 정사각형 타일링 표면의 정규화된 체적 기여와 일치하며, 이는 종수 $g$ 와 $n$ 에만 의존하는 인자에 의해 다를 뿐임.
• 대규모 종수에서 분리형 단순 폐쇄 지오데식은 비분리형 지오데식보다 약 $\sqrt{\frac{2}{3\pi g}} \cdot \frac{1}{4^g}$ 배 더 적게 발생함.
• $g=26$ 에서 $k$-원통 정사각형 타일링 표면의 실험적 빈도 분포는 체적 공식 $\operatorname{Vol}\Gamma_k(g)$ 에서 유도된 이론적 예측과 매우 유사하며, 대부분의 $k$ 에 대해 상대 오차가 1% 미만임.
• $g \leq 9$ 에 대한 수치 계산 결과, 모든 $k$-원통 정사각형 타일링 표면의 체적 기여 합계는 $g=6$ 에서 $\operatorname{Vol}\mathcal{Q}_g$ 의 약 95.9% 에 도달함. 이는 대규모 종수에서 전체 체적으로 수렴할 가능성을 시사함.
• $g=26$ 에서 $k$-원통 정사각형 타일링 표면의 분포는 $\lambda \approx 2.487$ 인 파oisson 분포와 거의 구분되지 않으며, 최적의 피팅을 위해서는 $\lambda_{\text{optimal}} \approx 2.528$ 가 필요함.