[논문 리뷰] Matched Queues with Matching Batch Pair (m, n)

Heng-Li Liu, Quan‐Lin Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 06.

Transportation and Mobility Innovations참고 문헌 71인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $m$개의 A-고객과 $n$개의 B-고객을 일괄로 매칭하는 새로운 매칭 대기열 시스템을 위한 행렬 해석 방법을 개발한다. 양방향 수준 의존 QBD 과정과 RG-분해를 사용하여 시스템의 안정성을 확립하고, 정적 대기열 길이, 체류 시간, 퇴출 과정을 계산하며, 릴레이싱 및 헬스케어와 같은 플랫폼에서 일반적인 매칭 대기열 시스템에 대한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we discuss an interesting but challenging bilateral stochastically matching problem: A more general matched queue with matching batch pair (m, n) and two types (i.e., types A and B) of impatient customers, where the arrivals of A- and B-customers are both Poisson processes, m A-customers and n B-customers are matched as a group which leaves the system immediately, and the customers' impatient behavior is to guarantee the stability of the system. We show that this matched queue can be expressed as a novel bidirectional level-dependent quasi-birth-and-death (QBD) process. Based on this, we provide a detailed analysis for this matched queue, including the system stability, the average stationary queue lengthes, and the average sojourn time of any A-customer or B-customer. We believe that the methodology and results developed in this paper can be applicable to dealing with more general matched queueing systems, which are widely encountered in various practical areas, for example, sharing economy, ridesharing platform, bilateral market, organ transplantation, taxi services, assembly systems, and so on.

연구 동기 및 목표

• 일괄 매칭이 $m$개의 A-고객과 $n$개의 B-고객인 일반화된 매칭 대기열 시스템을 모델링하고 분석하기 위해.
• $(m,n)$ 일괄 쌍으로 인해 비균일한 전이 행렬을 가진 양방향 무한 수준 QBD 과정의 과제를 해결하기 위해.
• 매칭 대기열 모델에 두 종류의 무관심 고객을 통합하여 실세계 응용의 현실성 향상을 위해.
• 성능 평가를 위한 체계적인 행렬 해석 프레임워크를 개발하기 위해 RG-분해를 사용하기 위해.
• 정적 대기열 길이, 체류 시간, 퇴출 과정과 같은 핵심 성능 지표를 계산하기 위한 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• A-고객 및 B-고객 대기열의 공동 역학을 포착하기 위해 양방향 무한 수준의 수준 의존 비생사-죽음(QBD) 과정으로 시스템을 수식화한다.
• 무한 크기의 최대 비음수 역행렬을 계산하기 위해 RG-분해 기법을 적용하여 정적 분포의 해를 구한다.
• 무관심 고객 행동과 도착 과정을 모델링하기 위해 단계형(PH) 분포와 표시 전이가 있는 마코프 도착 과정(MMAP)을 사용한다.
• 양의 수준과 음의 수준에 각각 $R$-행렬과 $\tilde{R}$-행렬의 재귀적 계산을 통해 정적 분포를 유도한다.
• 임베디드 QBD 과정 $Q_A$와 $Q_B$의 양의 재시행성 증명을 통해 안정성 조건을 확립한다.
• 정규화 조건 $\pi \mathbf{e} = 1$ 과 전역 균형 방정식을 검증하여 정적 분포를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무관심 고객이 있는 일괄 쌍 $(m,n)$을 가진 매칭 대기열이 안정되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비균일 전이를 가진 양방향 무한 수준과 수준 의존 QBD 과정의 정적 분포는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 이 일반화된 매칭 대기열의 성능 지표—평균 대기열 길이, 체류 시간, 퇴출 과정은 무엇인가?
• RQ4 RG-분해 방법은 양방향 QBD 과정에서 무한 차원 행렬을 다루는 데 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ5 제안된 행렬 해석 프레임워크는 실세계 응용에서 다른 매칭 대기열 시스템으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 시스템은 임베디드 QBD 과정 $Q_A$와 $Q_B$가 모두 양의 재시행성일 때이고, 오직 그 때에만 안정된다. 이는 스펙트럴 반경 조건을 통해 증명된다.
• 정적 분포는 $k \geq 2$ 에서 $\pi_k = c \tilde{\pi}_k R_1 R_2 \cdots R_{k-1}$, $\pi_1 = c \tilde{\pi}_1$, $\pi_0 = c \tilde{\pi}_0$, $\pi_{-1} = c \tilde{\pi}_{-1}$, $k \leq -2$ 에서 $\pi_k = c \tilde{\pi}_{-1} \mathbb{R}_{-1} \mathbb{R}_{-2} \cdots \mathbb{R}_{k+1}$ 로 표현되며, $c$ 는 정규화에 의해 결정된다.
• 정적 분포는 전역 균형 방정식 $\pi Q = \mathbf{0}$ 과 $\pi \mathbf{e} = 1$ 을 만족하며, 수준 $k \geq 2$, $k \leq -2$, $k = -1, 0, 1$ 에 대한 사례 분석을 통해 검증된다.
• 이 방법을 통해 유도된 정적 분포를 바탕으로 평균 정적 대기열 길이, 평균 체류 시간, 퇴출 과정을 계산할 수 있다.
• 이 프레임워크는 릴레이싱, 장기 이식, 조립 라인과 같은 다른 매칭 대기열 시스템으로 일반화 가능하다.
• RG-분해의 사용은 양방향 QBD 과정에서의 무한 차원 행렬을 효과적으로 다룰 수 있게 하여, 대기열 이론에 있어 새로운 기여를 한다.