[논문 리뷰] Matching Book Embedding of the Cartesian Product of a Complete Graph and a Cycle

Zeling Shao, Yanqing Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 02.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 6인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $p,q \geq 3$ 인 경우 카르테시안 곱 $K_p \Box C_q$의 매칭 북 두께를 결정하며, $mbt(K_p \Box C_q) = \Delta(K_p \Box C_q) + 1$임을 증명한다. 저자들은 $p$와 $q$의 홀짝성에 기반한 케이스 분석을 통해 정점 순서와 페이지 간 간선 배치를 이용하여 교차를 방지하면서 동시에 각 정점이 각 페이지당 최대 한 개의 차수를 가지도록 한다. 홀수와 짝수 완전 그래프 및 순환 그래프에 대한 명시적 구성이 제공된다.

ABSTRACT

The $book$ $embedding$ of a graph $G$ is to place the vertices of $G$ on the spine and draw the edges to the pages so that the edges in the same page do not cross with each other. The book embedding is $matching$ if the pages have maximum degree $1$. The $matching$ $book$ $thickness$ is the minimum number of pages in which graphs can be matching book embedded. In this paper, we show that the matching book thickness of the Cartesian product $K_p\Box C_q$of a complete graph $K_p$ and a cycle $C_q$ is equal to $Δ(K_p\Box C_q)+1$.

연구 동기 및 목표

• 완전 그래프 $K_p$와 순환 그래프 $C_q$에 대해 카르테시안 곱 $K_p \Box C_q$의 매칭 북 두께를 결정하기.
• 모든 $p,q \geq 3$ 에 대해 $mbt(K_p \Box C_q) = \Delta(K_p \Box C_q) + 1$ 이 성립하는지 여부를 해결하기.
• 모든 $p$와 $q$의 홀짝성 조합에 대해 매칭 북 임bedding을 명시적으로 제공하여 페이지 내 교차가 없도록 하기.

제안 방법

• 행과 열 순회를 기반으로 $K_p \Box C_q$의 정점에 스파인 순서를 구성하며, 특정 순서를 사용하여 행을 번갈아가며 순환 대칭성을 유지한다.
• 열 색인의 합을 $2n+1$ 또는 $2n$ 으로 모듈로 연산하여 간선을 페이지에 할당함으로써, 동일한 행에서 온 간선들이 페이지 간에 분산되어 차수 충돌을 방지한다.
• 재귀적이고 대칭적인 간선 배치 전략을 활용: 각 행 내 간선은 열 색인의 합에 따라 페이지에 할당되며, 행 간 간선은 홀짝성과 인접성에 따라 전용 페이지에 배치된다.
• 짝수 순환 그래프 $C_{2m}$ 는 분산 가능하다는 사실을 활용하고, 레마 2.5를 적용하여 $K_p \Box C_{2m}$ 의 매칭 북 두께를 $mbt(K_p) + \Delta(C_{2m}) = mbt(K_p) + 2$ 로 경계한다.
• 두 $p$와 $q$ 가 모두 홀수일 때 $K_p \Box C_q$ 가 비이분할임을 증명함으로써 하한을 도출하며, 이는 그래프가 이분가능하지 않다는 점에서 $mbt \geq \Delta + 1$ 임을 의미한다.
• 홀수 $p$ 에 대해 $2n+3$ 페이지, 짝수 $p$ 에 대해 $2n+2$ 페이지를 사용하여 명시적 구성으로 상한을 검증함으로써, 모든 간선이 교차 없이 배치되고 각 정점이 각 페이지당 최대 차수 1을 가지도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $p,q \geq 3$ 에 대해 카르테시안 곱 $K_p \Box C_q$ 의 매칭 북 두께는 무엇인가?
• RQ2 모든 $p,q \geq 3$ 에 대해 $mbt(K_p \Box C_q) = \Delta(K_p \Box C_q) + 1$ 이 성립하는가, 홀짝성에 관계없이?
• RQ3 모든 $K_p$ 와 $C_q$ 의 홀짝성 조합에 대해 명시적인 매칭 북 임베딩을 구성할 수 있는가?
• RQ4 두 $p$ 와 $q$ 가 모두 홀수일 때 $K_p \Box C_q$ 의 비이분할 성질이 매칭 북 두께에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $K_{2n+1} \Box C_{2m+1}$ 의 매칭 북 두께는 $2n+3$ 이며, 이는 $\Delta(K_{2n+1} \Box C_{2m+1}) + 1 = (2n+2) + 1$ 과 일치한다.
• $K_{2n} \Box C_{2m+1}$ 의 매칭 북 두께는 $2n+2$ 이며, 이는 $\Delta(K_{2n} \Box C_{2m+1}) + 1 = (2n+1) + 1$ 과 일치한다.
• $K_{2n} \Box C_{2m}$ 의 매칭 북 두께는 $2n+2$ 이며, 이는 $\Delta(K_{2n} \Box C_{2m}) + 1 = (2n+1) + 1$ 과 일치한다.
• $K_{2n+1} \Box C_{2m}$ 의 매칭 북 두께는 $2n+3$ 이며, 이는 $\Delta(K_{2n+1} \Box C_{2m}) + 1 = (2n+2) + 1$ 과 일치한다.
• 저자들은 네 가지 케이스 모두에 대해 명시적 구성 제공하여 비이분할성에서 유도된 이론적 하한과 분산 가능한 순환 그래프 성질에서 유도된 상한을 확인한다.
• 결과적으로 모든 $p,q \geq 3$ 에 대해 $mbt(K_p \Box C_q) = \Delta(K_p \Box C_q) + 1$ 이 성립함을 확인하여 이 클래스의 그래프에 대해 문제를 해결한다.