[논문 리뷰] $\mathbb{B}$-valued monogenic functions and their applications to boundary value problems in displacements of 2-D Elasticity

S. V. Gryshchuk|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 07.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소수 위의 가환 이중조화 대수 𝔹에서 𝔹-값을 가진 단조화 함수를 사용하여 2차원 탄성 경계값 문제를 해결하는 새로운 프레임워크를 제안한다. 탄성 평형과 일반화된 코시-리만 조건을 만족하는 단조화 함수 사이의 대응관계를 수립함으로써, 변위를 구하는 것은 함수의 첫 번째 및 네 번째 실수 성분의 경계값을 포함하는 (1-4)-문제로 환원됨을 보여주며, 적분 공식과 조화 쌍수를 통해 응력과 변위를 명시적으로 재구성할 수 있다.

ABSTRACT

Consider the commutative algebra $\mathbb{B}$ over the field of complex numbers with the bases $\{e_1,e_2\}$ such that %satisfying the conditions $(e_1^2+e_2^2)^2=0$, $e_1^2+e_2^2 e 0$. %$\mathbb{B}$ is unique. Let $D$ be a domain in $xOy$, $D_ζ:=\{xe_1+ye_2:(x,y) \in D\}\subset \mathbb{B}$. We say that $\mathbb{B}$-valued function $Φ\colon D_ζ \longrightarrow \mathbb{B}$, $Φ(ζ)=U_{1}\,e_1+U_{2}\,ie_1+ U_{3}\,e_2+U_{4}\,ie_2$, $ζ=xe_1+ye_2$, $U_{k}=U_{k}(x,y)\colon D\longrightarrow \mathbb{R}$, $k=\bar{1,4}$, is {\em monogenic} in $D_ζ$ iff $Φ$ has the classic derivative in every point in $D_ζ$. Every $U_k$, $k=\bar{1,4}$, is a biharmonic function in $D$. A problem on finding an elastic equilibrium for isotropic body $D$ by given boundary values on $\partial D$ of partial derivatives $\frac{\partial u}{\partial v}$, $\frac{\partial v}{\partial y}$ for displacements $u$, $v$ is equivalent to BVP for monogenic functions, which is to find $Φ$ by given boundary values of $U_1$ and $U_4$.

연구 동기 및 목표

• 2차원 등방성 탄성 평형 문제와 복소수 위의 가환 이중조화 대수 𝔹에서의 단조화 함수 사이의 대응관계 수립.
• 변위의 경계값 문제를 𝔹-값 단조화 함수의 첫 번째 및 네 번째 성분에 대한 경계 자료로 재구성.
• 이중조화 평면에서 (1-4)-문제의 해로부터 응력과 변위를 재구성하는 명시적 적분 공식 유도.
• 모든 실수 성분이 이중조화임을 보이며, 이는 방법이 이중조화 방정식과 탄성 이론과 연결됨을 보여줌.

제안 방법

• 기저 {e₁, e₂}를 가진 가환 이중조화 대수 𝔹를 정의하여 (e₁² + e₂²)² = 0 이고 e₁² + e₂² ≠ 0 를 만족시킴.
• 영역 D 위에서 정의된 실수 함수 Uₖ에 대해 ζ = xe₁ + ye₂ 이고 Φ(ζ) = U₁e₁ + U₂ie₁ + U₃e₂ + U₄ie₂ 로서 𝔹-값 단조화 함수 표현.
• Φ가 Dₚ에서 단조화임과 그 성분이 일반화된 코시-리만 조건에 등가인 네 개의 일阶 선형 PDE 시스템을 만족함이 증명됨.
• 각 Uₖ가 두 차원 이중조화 방정식 (Δ₂)²U = 0 을 만족함을 증명하여, 이 방법이 탄성 이론과 연결됨을 보임.
• 탄성 평형 문제를 U₁과 U₄의 경계값이 주어졌을 때의 (1-4)-문제로 환원함.
• 적분 표현과 조화 쌍수를 사용하여 편도함수와 응력을 재구성하며, τₓᵧ = −∂²W/∂x∂y 와 변위를 선적분을 통해 재구성함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 등방성 탄성 경계값 문제는 어떻게 이중조화 대수에서의 단조화 함수를 사용하여 재구성할 수 있는가?
• RQ2 𝔹-값 단조화 함수의 실수 성분이 이중조화 평면에서 해석 가능성을 보장하기 위해 만족해야 할 PDE 시스템은 무엇인가?
• RQ3 (1-4)-문제의 해—U₁과 U₄의 경계값이 주어졌을 때—유일하게 탄성 변위 및 응력장을 결정할 수 있는가?
• RQ4 응력 σₓ, σᵧ, τₓᵧ 는 단조화 함수 성분과 그 도함수로 어떻게 표현되는가?
• RQ5 조화 쌍수와 적분 표현은 변위 및 혼합 두 번째 도함수 재구성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 𝔹-값 단조화 함수 Φ의 각 성분 Uₖ 는 D 내에서 이중조화 함수이며, (Δ₂)²Uₖ = 0 을 만족함.
• Φ의 단조화성은 일반화된 고전적 코시-리만 방정식을 일반화한 네 개의 일阶 PDE 시스템 (5)–(8)과 동치임.
• 등방성 물체에 대한 탄성 평형 문제는 U₁과 U₄의 경계값이 주어졌을 때의 (1-4)-문제로 환원됨.
• 응력 σₓ와 σᵧ 는 일반화된 후크의 법칙을 통해 ∂u/∂x 와 ∂v/∂y 로 재구성되며, τₓᵧ 는 τₓᵧ = −∂²W/∂x∂y 로 구함.
• 변위 u와 v 는 함수 W 와 그 조화 쌍수로부터 재구성된 ∂u/∂y 와 ∂v/∂x 를 포함하는 선적분을 통해 복원됨.
• 이 방법은 3차원 탄성 문제를 초복소 해석을 통해 해결하기 위한 비가환 대수에서의 단조화 함수를 사용하는 콜로소프-무스헬리샤빌리 공식의 대안을 제공함.