[논문 리뷰] $\mathbb{Z}_2^n$-Supergeometry I: Manifolds and Morphisms

Tiffany Covolo, Janusz Grabowski외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 12.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 고전적 슈퍼기하학의 일반화로 Zn²-슈퍼기하학을 도입하며, 형식적 멱급수의 층과 Zn²-군화된 대수를 통해 Zn²-슈퍼다양체를 정의한다. 형식적 급수가 군화의 대체로 작용하며, Zn²-슈퍼다양체의 범주가 접선 및 코접선 함자에 대해 닫혀 있음을 증명하고, 다항근사와 함수 대수의 완비성에 기반해 기본 사상 정리를 Zn²의 맥락으로 확장한다.

ABSTRACT

In Physics and in Mathematics $\mathbb{Z}_2^n$-gradings, $n \geq 2$, do appear quite frequently. The corresponding sign rules are determined by the `scalar product' of the involved $\mathbb{Z}_2^n$-degrees. The present paper is the first of a series on $\mathbb{Z}_2^n$-Supergeometry. The new theory exhibits challenging differences with the classical one: nonzero degree even coordinates are not nilpotent, and even (resp., odd) coordinates do not necessarily commute (resp., anticommute) pairwise (the parity is the parity of the total degree). It is based on the hierarchy: ` $\mathbb{Z}_2^0$-Supergeometry (classical differential Geometry) contains the germ of $\mathbb{Z}_2^1$-Supergeometry (standard Supergeometry), which in turn contains the sprout of $\mathbb{Z}_2^2$-Supergeometry, etc.' The $\mathbb{Z}_2^n$-supergeometric viewpoint provides deeper insight and simplified solutions; interesting relations with Quantum Field Theory and Quantum Mechanics are expected. In this article, we define $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifolds and provide examples in the atlas, the ringed space and coordinate settings. We thus show that formal series are the appropriate substitute for nilpotency. Moreover, the category of $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifolds is closed with respect to the tangent and cotangent functors. The fundamental theorem describing supermorphisms in terms of coordinates is extended to the $\mathbb{Z}_2^n$-context.

연구 동기 및 목표

• Z1²-슈퍼기하학의 일반화된 프레임워크를 Zn²-gradation 기반으로 개발하기 위해.
• Zn²-슈퍼다양체를 링드 공간과 형식적 멱급수를 사용해 정의하여 군화의 대체로 완비성과 수렴성을 사용하기 위해.
• Zn²-슈퍼다양체의 범주가 접선 및 코접선 함자에 대해 닫혀 있음을 확립하기 위해.
• 다항근사와 층의 완비성을 사용해 슈퍼사상의 기본 정리를 Zn² 맥락으로 일반화하기 위해.
• Zn²-gradation의 구조를 통해 양자장 이론과 고차 벡터 번들의 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• Zn²-gradation에 따라 R-대수로 분할된 형식적 멱급수의 층을 사용해 Zn²-슈퍼다양체를 정의하며, 부호 규칙은 Zn²-gradation의 스칼라곱에 의해 결정된다.
• Zn²-슈퍼다양체를 국소 Zn²-링드 공간 (M, AM)으로 구성하며, M은 하우스도르프이자 두 번째 가산 위상공간이고, AM은 국소 스토크를 가지는 Zn²-군화된 단위 원소를 가진 R-대수의 층이다.
• Zn²-함수 대수의 완비성과 아벨 군의 하우스도르프-완비성으로 형식적 급수의 수렴성과 잘 정의된 사상의 보장을 확보한다.
• 기저 위에서의 층 접합 및 확장 기법을 사용해 국소 모델에서 전역 Zn²-슈퍼다양체를 구성한다.
• Zn²-함수의 다항근사를 사용해 기본 사상 정리를 증명하며, 슈퍼사상의 데이터가 좌표 매핑에 의해 결정됨을 보인다.
• 전통적인 의미의 단위 분할을 사용해 컴팩트 지지와 역가능한 전역 합을 가지는 전역 Zn²-함수를 구성하고, 층의 완비성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Zn²-슈퍼기하학은 어떻게 체계적으로 고전적 슈퍼기하학의 일반화로 발전시킬 수 있는가?
• RQ2 Zn²-gradation 슈퍼기하학에서 군화는 무엇으로 대체되며, 형식적 멱급수의 완비성이 이 역할을 어떻게 수행하는가?
• RQ3 Zn²-슈퍼다양체 간의 사상은 좌표와 층의 당김에 대해 어떻게 특징지어지는가?
• RQ4 Zn²-슈퍼다양체의 범주는 접선 및 코접선 함자에 대해 닫혀 있는가?
• RQ5 슈퍼사상의 기본 정리는 Zn² 맥락으로 확장될 수 있으며, 그러한 확장을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• Zn²-슈퍼다양체는 국소 Zn²-링드 공간 (M, AM)으로 정의되며, AM은 국소 스토크를 가지는 Zn²-군화된 단위 원소를 가진 R-대수의 층으로, 고전적 슈퍼다양체를 일반화한다.
• Zn²-gradation 대수 위의 형식적 멱급수는 군화된 좌표의 적절한 대체로 작용하며, 완비성으로 인해 수렴성과 잘 정의된 함수 대수를 보장한다.
• Zn²-슈퍼다양체의 범주는 접선 및 코접선 함자에 대해 닫혀 있으며, 이는 TM과 T*M가 Zn+1²-슈퍼다양체임을 의미한다.
• 기본 사상 정리는 Zn²-슈퍼기하학으로 확장된다: 슈퍼사상은 좌표 매핑에 의해 완전히 결정된다. 이는 Zn²-함수의 다항근사를 통해 증명된다.
• 임의의 Zn²-슈퍼다양체에 대해 개방 덮개에 대해 종속된 단위 분할이 존재하며, 컴팩트 지지와 역가능한 전역 합을 가지는 Zn²-함수를 포함한다. 이는 층의 완비성을 보장한다.
• Zn²-슈퍼다양체의 함수 대수 AM(M)는 Zn²-gradation에 의해 유도된 필터링에 대해 완비이며, 형식적 급수의 수렴성과 잘 정의된 사상의 가능성을 보장한다.