[논문 리뷰] $\mathcal{N}=(3,3)$ holography on ${ m AdS}_3 imes ({ m S}^3 imes { m S}^3 imes { m S}^1)/\mathbb Z_2$

Lorenz Eberhardt, Ida G. Zadeh|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 24.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\mathrm{AdS}_3 \times (\mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^1)/\mathbb{Z}_2$에서의 $\mathcal{N}=(3,3)$ 히스토그램 이중성( holographic duality )을 제안하며, 이중성의 경계 CFT는 네 개의 자유 페르미온과 한 개의 자유 보존으로 이루어진 이론 $\mathcal{S}_0$의 대칭적 제품 오비폭(orbifold)임을 추측한다. 저자들은 양측에서 BPS 스펙트럼을 일치시키고 수정된 타원 지표(modified elliptic genus)를 계산하여 정확한 일치를 확인하였으며, 이는 이중성에 대한 강력한 증거를 제공한다.

ABSTRACT

We consider string theory on AdS$_3$ $ imes$ (S$^3$ $ imes$ S$^3$ $ imes$ S$^1)/\mathbb Z_2$, a background supporting $\mathcal N=(3,3)$ spacetime supersymmetry. We propose that string theory on this background is dual to the symmetric product orbifold of $\mathcal S_0/\mathbb Z_2$ where $\mathcal S_0$ is a theory of four free fermions and one free boson. We show that the BPS spectra of the two sides of the duality match precisely. Furthermore, we compute the elliptic genus of the dual CFT and that of the supergravity limit of string theory and demonstrate that they match, hence providing non-trivial support for the holographic proposal.

연구 동기 및 목표

• AdS$_3$/CFT$_2$ 대응을 $\mathcal{N}=(3,3)$ 시공간 초대칭을 갖는 배경으로 확장하고자 한다.
• 두 개의 $\mathrm{S}^3$ 인자들을 교환하고 $\mathrm{S}^1$을 반사하는 $\mathbb{Z}_2$ 작용을 통해 $\mathcal{N}=(4,4)$에서 $\mathcal{N}=(3,3)$으로 감소하는 $\mathrm{AdS}_3 \times (\mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^1)/\mathbb{Z}_2$ 오비폭에서의 끈 이론을 연구하고자 한다.
• 경계 CFT로 대칭적 제품 오비폭 $\mathrm{Sym}^N(\mathcal{S}_0/\mathbb{Z}_2)$를 제안하며, 여기서 $\mathcal{S}_0$는 네 개의 자유 페르미온과 한 개의 자유 보존으로 이루어진 이론이다.
• 복합체 끈 이론과 경계 CFT 사이의 BPS 스펙트럼과 수정된 초대칭 지표(타원 지표)를 일치시켜 이중성에 대한 비자명한 증거를 제공하고자 한다.
• 표준 타원 지표가 페르미온의 영모드로 인해 영이 되는 $\mathcal{N}=(3,3)$ CFT의 NS 섹터에서 비영인 지표를 정의하고 계산하고자 한다.

제안 방법

• 복합체 끈 이론과 대칭적 제품 오비폭 $\mathrm{Sym}^N(\mathcal{S}_0/\mathbb{Z}_2)$ 사이의 이중성을 제안하며, 여기서 $\mathcal{S}_0$는 네 개의 페르미온과 한 개의 보존으로 이루어진 자유 CFT이다.
• BPS 스펙트럼은 복합체 측(복합체 끈 이론)에서는 WZW 모델과 오비폭 투영을, 경계 측(경계 CFT)에서는 대칭적 오비폭 구성으로 계산하여 정확한 일치를 보였다.
• 표준 타원 지표가 페르미온의 영모드로 인해 영이 되는 문제를 피하기 위해, 右이동 섹터의 카이랄(primary) 상태에 대해 집중하고 왼쪽 이동 섹터에서는 임의의 상태를 고려하는 수정된 타원 지표를 정의하였다.
• 세계면 이론은 두 개의 $\mathrm{S}^3$ 인자에 대해 $\mathfrak{su}(2)_k$ WZW 모델과 $\mathrm{S}^1$ 상의 자유 보존을 사용하였으며, $\mathbb{Z}_2$ 작용은 $k^+ = k^-$를 유도하여 $\kappa = 0$이 된다.
• 복합체 타원 지표의 초중력 근사(supergravity limit)를 계산하여 경계 CFT 결과와 일치함을 보였으며, 이는 이중성에 대한 강력한 지지를 제공한다.
• 스태프 함수 항등식과 모듈라 성질을 사용하여 지표를 평가하였으며, 특히 $\vartheta_2$, $\vartheta_3$, $\vartheta_4$ 함수와 $\tau \to \tau/n$에 따른 변환을 활용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복합체 끈 이론이 $\mathrm{AdS}_3 \times (\mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^3 \times \mathrm{S}^1)/\mathbb{Z}_2$에서 $\mathcal{N}=(3,3)$ 히스토그램 이중성을 갖는가?
• RQ2 $\mathcal{S}_0/\mathbb{Z}_2$의 대칭적 제품 오비폭이며, $\mathcal{S}_0$가 네 개의 자유 페르미온과 한 개의 자유 보존으로 이루어진 이론이라면, 이 배경에 대한 적절한 경계 CFT인가?
• RQ3 $\mathcal{N}=(3,3)$ CFT에 대해 표준 타원 지표가 영이 되는 상황에서도 BPS 스펙트럼을 캡처할 수 있는 비영인 초대칭 지표를 정의할 수 있는가?
• RQ4 복합체 끈 이론과 경계 CFT의 BPS 스펙트럼이 정확히 일치하는가?
• RQ5 이중성의 양측에서 계산된 수정된 타원 지표가 일치하는가? 이는 이중성에 대한 비자명한 증거를 제공한다.

주요 결과

• 복합체 끈 이론의 BPS 스펙트럼과 제안된 경계 CFT $\mathrm{Sym}^N(\mathcal{S}_0/\mathbb{Z}_2)$의 BPS 스펙트럼이 정확히 일치한다.
• 우측 이동 섹터의 카이랄(primary) 상태에 대한 추적과 좌측 이동 섹터의 임의의 상태에 대한 추적을 포함하는 수정된 타원 지표는 비영이며, 복합체와 경계 이론 사이에서 일치한다.
• 복합체 타원 지표의 초중력 근사는 경계 CFT 결과를 재현하며, 저에너지 영역에서의 일관성을 확인한다.
• 지표 계산은 특히 $\vartheta_2(z|\tau)$와 $\tau \to \tau/n$에 따른 변환을 활용한 스태프 함수 항등식에 의존하며, 비틀림 섹터에 대한 합을 평가하는 데 사용된다.
• 페르미온의 영모드로 인해 표준 타원 지표가 영이 되는 문제를 우회하기 위해, 우측 이동 섹터에서 카이랄 상태로 제한함으로써 물리적으로 의미 있는 지표를 얻었으며, 이는 양측에서 일치하는 결과를 얻었다.
• 두 개의 $\mathrm{S}^3$ 인자들을 교환하고 $\mathrm{S}^1$을 반사하는 오비폭 투영 $\mathbb{Z}_2$는 $\mathcal{N}=(4,4)$를 $\mathcal{N}=(3,3)$으로 감소시키며, 대각선 $\mathfrak{su}(2)$ R대칭을 유지한다.